Funktionsbildung Textaufgabe

22.03.2014, 14:14

alois001

Funktionsbildung Textaufgabe

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

ich soll folgende Textaufgabe lösen:

Die Gesamtkosten K für die Herstellung von x Einheiten eines Gutes seien eine lineare Funktion. Aufzeichnungen zeigen, dass einmal 100 Einheiten mit Gesamtkosten von 200 Euro hergestellt wurden. Ein anderes Mal wurden 150 Einheiten mit Gesamtkosten von 275 Euro hergestellt. Stellen Sie die lineare Gleichung für die Gesamtkosten K in Abhängigkeit von der Anzahl produzierter Einheiten x auf.

Die Musterlösung lautet: $\begin{eqnarray*} K(x)=\frac{3}{2}x+50 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Leider verstehe ich nicht, wie ich hier eine allgemeine, lineare Kostenfunktion aufstellen soll, wenn die Kosten offensichtlich von der produzierten Menge abhängen.

Ich hab bisher die Kostenfunktionen für die beiden getrennt berechnet, was mich der Musterlösung leider nicht näher gebracht hat.

Ich hoffe auf eure Unterstützung smile

22.03.2014, 14:20

Bonheur

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Wie lautet denn die allgemeine Gleichung für lineare Funktionen ?

Welche Informationen kannst aus dem Text entnehmen ?

22.03.2014, 14:28

alois001

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Hallo Bonheur,

die allgemeine Gleichung für lineare Funktionen lautet $\begin{eqnarray*} f(x)=ax+b \end{eqnarray*}$ wobei a die Steigung ist, x die unabhängige Variable und b der Schnittpunkt mit der Ordinate ist.

Leider hilft mir diese Erkenntnis nicht weiter oder ich stehe total auf dem Schlauch!?

Aus dem Text erhalte ich die Informationen, dass eine linerare Gleichung gebildet werden soll, die die Kosten für die produzierte Menge x berechnet.

Zudem sehe ich, dass bei der Produktion von 100 Einheiten gilt: $\begin{eqnarray*} K(x)=2x \end{eqnarray*}$ und bei 150 Einheiten gilt $\begin{eqnarray*} K(x)=\frac{11}{6} x \end{eqnarray*}$ . Das ist dann auch genua mein Problem, ich verstehe nicht, wie ich das in einer lineraren Kostenfunktion zusammenfassen soll, da die Kosten ja von der Menge der produzierten Einheiten abhängig ist.

22.03.2014, 14:36

Bonheur

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Zitat:

alois001
die allgemeine Gleichung für lineare Funktionen lautet $\begin{eqnarray*} f(x)=ax+b \end{eqnarray*}$ wobei a die Steigung ist, x die unabhängige Variable und b der Schnittpunkt mit der Ordinate ist.

Richtig.

Zitat:

alois001
Zudem sehe ich, dass bei der Produktion von 100 Einheiten gilt: $\begin{eqnarray*} K(x)=2x \end{eqnarray*}$ und bei 150 Einheiten gilt $\begin{eqnarray*} K(x)=\frac{11}{6} x \end{eqnarray*}$ . Das ist dann auch genua mein Problem, ich verstehe nicht, wie ich das in einer lineraren Kostenfunktion zusammenfassen soll, da die Kosten ja von der Menge der produzierten Einheiten abhängig ist.

Die Gesamtkosten K für die Herstellung von x Einheiten eines Gutes musst du mit einer linearen Funktion darstellen. Deine angegebenen Funktionen zeigen dir bloß die Steigung für die bestimmten Punkte an. Das bringt dir aber nichts.
Wenn du nun davon ausgehst, dass beim ersten mal mit 200 Euro 100 Einheiten hergestellt wurden und beim anderen mal mit 275 Euro 150 Einheiten hergestellt wurden, kannst damit die Steigung bestimmen d.h m.
Tipp: Differenzenquotient

22.03.2014, 14:56

alois001

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Differenzenquotient bei einer Geraden?

Ich würde trotzdem gerne deinen Tipp versuchen, nur leider fehlt dazu ja die Funktion, die ich bilden soll? Die Formel für die Steigung m die ich kenne lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x+1)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} h=x_{2}-x_{1} \end{eqnarray*}$ ist. Korrigier mich bitte wenn ich falsch liege oder sogar das Thema des Differenzenquotienten nicht verstanden habe. Aber eigentlich geht es doch dabei, um die Steigung zwischen zwei Punkten auf einer Kurve zu ermitteln, wobei auch die Fkuntion bekannt sein muss.

22.03.2014, 14:59

Bonheur

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Wieso machst du dir das Leben so schwer ? Big Laugh

Zitat:

alois001
Aber eigentlich geht es doch dabei, um die Steigung zwischen zwei Punkten auf einer Kurve zu ermitteln, wobei auch die Fkuntion bekannt sein muss.

Richtig. Allerdings muss die Funktion nicht bekannt sein, denn du kannst "ja" auch wenn du zwei Punkte hast, die durchschnittliche Steigung zwischen den beiden Punkten berechnen.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray*}$

22.03.2014, 15:19

alois001

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Ich werd wahnsinnig Augenzwinkern

denn ich checks noch immer nicht verwirrt

Die Formel müsste also lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{11}{6}x-2x }{150-100} =\frac{11}{300}x-\frac{2}{50}x =x(\frac{11}{300}-\frac{1}{25}) =-\frac{1}{300}x \end{eqnarray*}$

Was mich also überhaupt nicht weiter bringt...ich gehe also davon aus, dass ich falsche Werte eingesetzt habe.

Aber $\begin{eqnarray*} x_{1}=100 \end{eqnarray*}$ und dadurch müsste ja $\begin{eqnarray*} y_{1} \end{eqnarray*}$ die zugehörige Funktion vom x-Wert sein oder???

22.03.2014, 15:27

alois001

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Ach Blödsinn, ich meine natürlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{275-200}{150-100}=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Womit ich dann zumindest schon mal die Steigung der Funktion habe, doch wie komme ich jetzt auf den Schnittpunkt mit der y-Achse? Also auf b?

Bisheriger Status:

$\begin{eqnarray*} K(x)=\frac{3}{2}x+b \end{eqnarray*}$

Bitte den vorherigen Post nicht beachten.

22.03.2014, 15:27

Bonheur

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Zitat:

Original von alois001
Die Formel müsste also lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{11}{6}x-2x }{150-100} =\frac{11}{300}x-\frac{2}{50}x =x(\frac{11}{300}-\frac{1}{25}) =-\frac{1}{300}x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von alois001
Aber $\begin{eqnarray*} x_{1}=100 \end{eqnarray*}$ und dadurch müsste ja $\begin{eqnarray*} y_{1} \end{eqnarray*}$ die zugehörige Funktion vom x-Wert sein oder???

Beide Aussagen, die du tätigst, widersprechen sich.

Du hast vollkommen Recht, wenn du behauptest, dass der zugehörige Funktionswert an der Stelle x, der y-Wert ist.
Du hast allerdings zwei Punkte:

$\begin{eqnarray*} P(x|y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_1(100|200) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_2(150|275) \end{eqnarray*}$

x sei die Anzahl der Einheiten.

y seien die Gesamtkosten

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m = \dots \end{eqnarray*}$

22.03.2014, 15:33

alois001

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Ich habs nachher selber noch gemerkt Wink

schau dir mal bitte den Post über dir an

22.03.2014, 15:38

Bonheur

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Jetzt ist es richtig. smile

$\begin{eqnarray*} K(x)=\frac{3}{2}x+b \end{eqnarray*}$

Jetzt fehlt dir noch noch "b".
Dafür muss du noch eine Gleichung aufstellen, welches du mit einem beliebigen Punkt machen kannst, welchen du allerdings gegeben hast.

$\begin{eqnarray*} P_1(100|200) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_2(150|275) \end{eqnarray*}$

Du hast den x-Wert und den y-Wert, damit kannst du eine Gleichung aufstellen:

$\begin{eqnarray*} K(100)= \dots = \dots \end{eqnarray*}$

22.03.2014, 15:44

alois001

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$\begin{eqnarray*} K(100)=150+b \Rightarrow 200=150+b \Rightarrow b=50 \end{eqnarray*}$

Mensch, wenn man sich das jetzt so anschaut, wirkt es eigentlich ganz einfach. Ich hab wohl etwas zu kompliziert bzw. zu umständlich gedacht. Ich schaue mir noch mal alles in Ruhe an.

Vielen Dank für deine Hilfe Freude

22.03.2014, 15:47

Bonheur

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Gern geschehen.

Man kann auch die Gleichung einfacher aufstellen:

$\begin{eqnarray*} K(x)=m \cdot (x-x_0)+y_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K(x)=\frac{3}{2} \cdot (x-100)+200 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K(x)=\frac{3}{2} \cdot x+50 \end{eqnarray*}$

Wenn du irgendwelche Fragen hast, dann stelle sie ruhig. Freude

22.03.2014, 15:58

alois001

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Ist das eine feste Formel oder wie bist du darauf gekommen?

Edit: Jetzt hab ichs, danke Dir nochmals!

22.03.2014, 16:05

Bonheur

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Es ist eine feste Formel. Allerdings kannst du auch die Formel selber herausbekommen:

$\begin{eqnarray*} m = \frac{y-y_1}{x-x_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m \cdot (x-x_1)=y-y_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m \cdot (x-x_1)+y_1=y \end{eqnarray*}$

Edit: Ich sehe immer deine editieren Beiträge, erst später. Super Freude

Gern geschehen. smile

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