Grenzwert einer Funktion ermitteln

22.03.2014, 18:52

Geron

Grenzwert einer Funktion ermitteln

Meine Frage:
Begründen Sie, ob ein Funktionswert, eine Lücke oder eine Polstelle vorliegt.

$\begin{eqnarray*} a) y=\frac{x^2-4}{x+2} \end{eqnarray*}$ mit x0=-2
$\begin{eqnarray*} b) y=\frac{4-x}{4+x} \end{eqnarray*}$ mit x0=-4
$\begin{eqnarray*} c) y=\frac{x^2-5x}{x^2-25} \end{eqnarray*}$ mit x0=5

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} a)\lim_{n \to \infty} \frac{1-\frac{4}{x^2}}{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}=\frac{1}{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b)\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4}{x}-1}{\frac{4}{x}+1}=-\frac{1}{1}=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c)\lim_{n \to \infty} \frac{1-\frac{5}{x}}{1-{\frac{25}{x^2}}}=\frac{1}{1}=1 \end{eqnarray*}$

...kann das sein?

22.03.2014, 18:56

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du hier denn machen? Einerseits hast du Funktionen in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , wo du lustig rumgekürzt hast und betrachtest dann den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ? Das hat doch alles nichts miteinander zu tun. Willst du nicht vielmehr den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x\to x_0 \end{eqnarray*}$ berechnen?

Und: $\begin{eqnarray*} \frac 10 \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert, das kann kein sinnvolles Ergebnis sein!

22.03.2014, 18:59

Geron

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss ermitteln, ob es ein Funktionswert ist. Wenn nicht, ist zu ermitteln, ob es trotzdem eine Lösung in Form einer Lücke gibt oder ob es in's Unendliche geht, also eine Polstelle darstellt.

Das von dir angesprochene $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ wäre dann eine Polstelle.

Bitte korrigiere mich, wenn ich hier etwas falsch verstanden habe. Fakt ist aber, dass hier etwas zu antworten und auch zu berechnen ist.

22.03.2014, 19:15

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich kann man hier "etwas" berechnen, die Frage ist aber, was du berechnet hast bzw. was du berechnen willst. Du bringst aus irgendwelchen Gründen den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ins Spiel und klammerst in Zähler und Nenner die höchste vorkommende Potenz von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus, warum? Das hat doch mit der Aufgabe überhaupt nichts zu tun.

Bei Aufgabe a) soll berechnet werden: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to -2} \frac {x^2-4}{x+2} \end{eqnarray*}$

Um diesen Grenzwert zu berechnen, solltest du dich an die dritte binomische Formel erinnern, damit kann man den Ausdruck schön vereinfachen.

22.03.2014, 19:28

Geron

Auf diesen Beitrag antworten »

Mal versuchen.

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)}=(x-2)<br /> \end{eqnarray*}$

22.03.2014, 19:33

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Da fehlt nach dem Gleichheitszeichen das $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to -2} \end{eqnarray*}$ , du hast ja bisher noch nicht den Grenzwert gebildet sondern lediglich den Ausdruck umgeformt. Den Grenzwert kannst du jetzt aber einfach berechnen.

22.03.2014, 19:37

Geron

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist x gleich 0 und ich habe noch -2?

22.03.2014, 19:44

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ? Wir gucken uns doch den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ an.

22.03.2014, 19:51

Geron

Auf diesen Beitrag antworten »

Schlecht geraten? >_>

Hmmm. Mir fällt gerade auf...werden die ganzen x nicht durch (x0+x) ersetzt?
Beim x in der Klammer fehlt hier das Dreieck..

22.03.2014, 19:55

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann einmal eine generelle Frage: ist dir der Grenzwert überhaupt ein Begriff, was damit gemeint ist und wie man damit umgeht? Hast du den Begriff einmal nachgeschlagen?

22.03.2014, 20:04

Geron

Auf diesen Beitrag antworten »

Afaik wird hier der Grenzwert gesucht, weil es für X keinen Funktionswert gibt, also gibt es eine Annäherung an einen Wert.

22.03.2014, 20:26

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist keine Antwort auf die Frage:

Zitat:

Original von Iorek
ist dir der Grenzwert überhaupt ein Begriff, was damit gemeint ist und wie man damit umgeht? Hast du den Begriff einmal nachgeschlagen?

(Schlechtes) Raten bringt dir nichts, der Grenzwert ist ein exakt definierter Begriff, um mit Grenzwerten umgehen zu können, muss man diese Definition kennen.

23.03.2014, 14:59

Geron

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Grenzwert liegt vor, wenn an der Stelle X0 alle Folgen, sowie deren Funktionswerte, gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.

Hab die Lösung inzwischen. Binom. Formeln sind aufzulösen und jedes x wird durch (x0 + x_diff) ersetzt.

23.03.2014, 16:19

Geron

Auf diesen Beitrag antworten »

(P. S.: Den Fehler den ich machte: Ich habe den Grenzwert im Unendlichen gesucht, anstatt den der Funktionen)

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert einer Funktion ermitteln

Verwandte Themen