Diagonalisierbar

22.03.2014, 21:19

Veysel1990

Diagonalisierbar

Meine Frage:
Ich muss jeweils entscheiden, ob folgende Matrizen über R diagonalisierbar ist:

a) $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ -3 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 4/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Für a)

Um die EW und EV zu berechnen habe ich hier als Lösung für das entsprechende Polynom bekommen:
$\begin{eqnarray*} \lambda =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda(2,3) =+-\sqrt{-14} \end{eqnarray*}$
Daraufhin habe ich den EV für Lamba=0 ausgerechnet und den Vektor (und Vielfache davon) bekommen: $\begin{eqnarray*} v1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0,5 \\ 1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Der 2. EV ist nach meiner Rechnung:
$\begin{eqnarray*} v2=\begin{pmatrix} 3+\sqrt{-14} \\ 3-\sqrt{-14} \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Doch hier komme ich nicht mehr weiter, denn in der Vorlesung hatten wir noch nicht komplexe Zahlen in einer Diagonalmatrix. Stimmt es überhaupt bis jetzt? Und wenn ja, wie fahre ich fort? Kann man die Matrix überhaupt diagonalisieren?

Zu b)
EW: $\begin{eqnarray*} \lambda =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda(2,3)=\frac{2}{3}+-\sqrt{\frac{130}{9} } \end{eqnarray*}$

Zu Lambda 0 habe ich den EV (und Vielfache davon) bekommen:
$\begin{eqnarray*} v1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0,5 \\ -1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier weiss ich nicht, wie ich fortfahren soll mit dem anderen EW. Kann man dazu überhaupt einen EV bekommen oder ist es schon von vornerein falsch gewesen meine Rechnung? Ich danke euch schon im Voraus=)

22.03.2014, 22:02

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor du dich da zu Tode rechnest: sollst du nur entscheiden, ob die Matrizen diagonalisierbar sind oder die Diagonalmatrix mit passenden Transformationsmatrizen auch berechnen?

Sieh dir einmal notwendige und hinreichende Kriterien für Diagonalisierbarkeit an, wenn du nur das "ob" zu entscheiden hast, spart das viel Arbeit.

22.03.2014, 23:36

Veysel1990

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Grunde genommen, müsste ich nur schauen, ob es möglich ist ja.

Also gemäss unserem Skript steht als Definition:

Die Matrix A ist diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare n x n-Matrix S gibt, so dass S^-1AS Diagonalform hat.

Zudem:

Eine n x n-Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren in R^n besitzt.

Nach dieser Definition wären meine EV in a) und b) ja linear unabhängig und somit wäre die Matrix auch diagonalisierbar. Stimmt das so?

22.03.2014, 23:38

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Veysel1990
Eine n x n-Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren in R^n besitzt.

Bekommst du bei a) denn wirklich 3 reellwertige Eigenvektoren?

23.03.2014, 00:14

Veysel1990

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein

Nur die 0. Danke für den klaren Hinweis.

Ok, demnach hat sichs geklärt=) a ist nicht diagonalisierbar, da ich nicht 3 reelwertige EV habe.

und bei b) ja, da die drei Eigenvektor linear unabhängig voneinander sind.

Hoffe meine Schlussfolgerung stimmt soweit?

23.03.2014, 00:19

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Die 0 ist in a) der einzige reelle Eigenwert, das ist natürlich nicht der Eigenvektor. Die Argumentation stimmt aber soweit. Freude

(Die Eigenvektoren in b) hättest du übrigens gar nicht berechnen müssen; Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind immer linear unabhängig.)

23.03.2014, 00:21

Veysel1990

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt, kurzer Denkfehler.

Danke nochmals. Du hast mir die ganze Rechnerei erspart Freude

Neue Frage »

Antworten »

Diagonalisierbar

Verwandte Themen