Induktionsbeweis: Term durch 9 teilbar

23.03.2014, 10:29

Andrej0071

Induktionsbeweis: Term durch 9 teilbar

Hallo,

ich soll folgende Aussage beweisen: 9 teilt (ohne Rest) $\begin{eqnarray*} 3n*4^{n+1} -4^{n+1} +4 \end{eqnarray*}$

Ich beweise diese Aussage mit vollständiger Induktion.

Induktionsanfang: für $\begin{eqnarray*} n = 0 \end{eqnarray*}$ ist die Aussage trivial, denn für $\begin{eqnarray*} n = 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 3n*4^{n+1} -4^{n+1} +4=0 \end{eqnarray*}$

Im Induktionsschritt schließe ich von $\begin{eqnarray*} n-1\Rightarrow n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 3n*4^{n+1} -4^{n+1} +4 = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3(n-n+1)*4^{n+1} -4^{n+1} +4 = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3(n-1)+3)*4^{n+1} -4^{n+1} +4= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3(n-1)*4^{n+1} +3*4^{n+1} -4^{n+1} +4 = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3(n-1)*4*4^{(n-1)+1} +3*4*4^{(n-1)+1} -4*4^{(n-1)+1} +4= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3(n-1)*4*4^{(n-1)+1} -4*4^{(n-1)+1} +4+3*4*4^{(n-1)+1} \end{eqnarray*}$

Und nun komme ich nicht weiter, da ich zwar mit der Induktionsvoraussetzung begründen kann, dass 9 $\begin{eqnarray*} 3(n-1)*4*4^{(n-1)+1} -4*4^{(n-1)+1} +4 \end{eqnarray*}$ teilt, aber das $\begin{eqnarray*} 3*4*4^{(n-1)+1} \end{eqnarray*}$ stört!

Hat da jemand eine Idee?

Grüße,
Andrej

23.03.2014, 11:01

Helferlein

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RE: Induktionsbewis 9 teilt ... - hänge bei der Umformung

Zitat:

Original von Andrej0071
, da ich zwar mit der Induktionsvoraussetzung begründen kann, dass 9 $\begin{eqnarray*} 3(n-1)*4*4^{(n-1)+1} -4*4^{(n-1)+1} +4 \end{eqnarray*}$ teilt,

Das würde ich gerne mal sehen ;-)

Du kannst zwar beweisen, dass $\begin{eqnarray*} 3(n-1)*4*4^{(n-1)+1} -4*4^{(n-1)+1} +16 \end{eqnarray*}$ durch 9 teilbar ist, aber nicht der von Dir genannte Term.

23.03.2014, 11:32

Andrej0071

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Stimmt du hast recht, ich müsste ja die 4 davor noch ausklammern .....
nur hab ich immer noch das Problem, dass dann in der Klammer $\begin{eqnarray*} 1+3*4^{n+1-1} \end{eqnarray*}$ auftaucht.

Komme da grade irgendwie nicht weiter, egal was ich probiere unglücklich

23.03.2014, 12:27

riwe

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ich hätte in etwa so umgeformt:

....

$\begin{eqnarray*} =4\cdot (4^n\cdot(3n-4)+4)+3\cdot 4\cdot(4^n-1) \end{eqnarray*}$

der Term in der 1. Klammer ist lt. IV durch 9 teilbar,
bleibt noch zu zeigen, dass der Term in der 2. Klammer durch 3 teilbar ist, was ja nicht allzu schwer sein sollte

23.03.2014, 13:40

Andrej0071

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Hallo riwe,

ich bin gerade total blind, welchen Term hast du umgeformt, um deinen zu erhalten?

23.03.2014, 13:48

riwe

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genau den, den du oben beschreibst, T für Term Augenzwinkern

:

$\begin{eqnarray*} T(n)=4^{n+1}\cdot(3n-1)+4\to T(n-1)=4^n\cdot(3n-4)+4 \end{eqnarray*}$

23.03.2014, 16:20

Andrej0071

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bei mir ist aber $\begin{eqnarray*} 3(n-1) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} (3n-1) \end{eqnarray*}$

23.03.2014, 16:24

Helferlein

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RE: Induktionsbeweis: Term durch 9 teilbar
Riwe meint den zu zeigenden Term $\begin{eqnarray*} 3n*4^{n+1} -4^{n+1} +4=(3n-1)4^{n+1}+4 \end{eqnarray*}$

23.03.2014, 16:57

riwe

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RE: Induktionsbeweis: Term durch 9 teilbar
genau Augenzwinkern

eine lustige und einfache idee wäre doch

$\begin{eqnarray*} T(n+1)-T(n)=4^n\cdot 9\cdot n \end{eqnarray*}$

23.03.2014, 17:14

Andrej0071

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Geile idee Mit Zunge

Dann kann ich nämlich zeigen, dass die Aussage für ein n gilt (z.B. n=0) und dann aurgumentieren,
dass ja gerade zu dem n ein vielfaches der 9 dazuaddiert wird, und somit die Aussage auch für n+1 gilt.
Ergo für alle n?

23.03.2014, 17:21

riwe

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so sehe ich das auch, da du T(0)| 9 gezeigt hast, gilt das rekursiv (oder so) auch für den Rest des Universums Augenzwinkern

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