Mehrstufige Zufallsversuche

23.03.2014, 10:56

Bonheur

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Mehrstufige Zufallsversuche

In einer Urne befinden sich 10 blaue (B), 8 grüne (G) und 2 (R) rote Kugeln.
a) Aus der Urne wird dreimal eine Kugel ohne zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
A: "Es kommt die Zugfolge RBG"
B: "Jede Farbe tritt genau einmal auf."
C: "Alle gezogenen Kugeln sind gleichfarbig."
D: "Mindestens zwei der Kugeln sind blau."

b) Aus der Urne wird viermal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 3 blaue Kugeln dabei?

c) Wie viele Kugeln müssen der Urne mit Zurücklegen entnommen werden, damit unter den gezogenen Kugeln mit wenigstens 90 %iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine rote Kugel ist?

d) In einer weiteren Urne U_2 befinden sich 8 blaue, 8 grüne und 4 rote Kugeln. Es wird folgendes Spiel angeboten. Man muss mit verbunden Augen eine der beigen Urnen auswählen und eine Kugel ziehen. Ist die gezogene Kugel rot, so erhält man 20 Euro ausgezahlt. Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit? Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?

Erstmal zu a)

Idee:
A: $\begin{eqnarray*} P(E)=\frac{2}{20} \cdot \frac{10}{19} \cdot \frac{8}{18} \end{eqnarray*}$

B: $\begin{eqnarray*} P(E)=6 \cdot \left(\frac{2}{20} \cdot \frac{10}{19} \cdot \frac{8}{18}\right) \end{eqnarray*}$

C: Wie soll rot dreimal auftreten, wenn es nur zwei rote Kugeln gibt ? verwirrt

verwirrt

D:

Ich kriege meine Macken, bei diesen Aufgaben, weil man voll durcheinander kommt, kennt jemand von euch eine Struktur, wie man das am besten machen kann ?

Vielen Dank

23.03.2014, 11:04

10001000Nick1

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A und B stimmen.
Zu C: Dann kann eben RRR nicht auftreten. Aber was ist denn mit BBB oder GGG? Davon kannst du die Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Bei solchen Aufgaben ist vielleicht ein Baumdiagramm ganz hilfreich. Da kann man die Wahrscheinlichkeiten einfach an den Pfaden ablesen.

23.03.2014, 11:15

Bonheur

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Hallo Nick, Vielen Dank erstmal.

C: $\begin{eqnarray*} P(E)=\left(\frac{10}{20} \cdot \frac{9}{19} \cdot \frac{8}{18}\right)+\left(\frac{8}{20}\cdot \frac{7}{19} \cdot \frac{6}{18}\right) \end{eqnarray*}$

D: $\begin{eqnarray*} P(E)=\left(\frac{10}{20} \cdot \frac{9}{19} \cdot \frac{8}{18}\right)+3\cdot \left(\frac{10}{20} \cdot \frac{9}{19} \cdot \frac{8}{18}\right)+3 \cdot \left(\frac{10}{20} \cdot \frac{9}{19} \cdot \frac{2}{18}\right) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ich bald das Gefühl dafür bekomme. Big Laugh

Big Laugh

23.03.2014, 11:26

10001000Nick1

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Beides richtig. Freude

Freude

23.03.2014, 11:33

Bonheur

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Juhu.

smile

b)

$\begin{eqnarray*} P(E)=\left(\frac{10}{20} \cdot \frac{9}{19} \cdot \frac{8}{18} \cdot \frac{7}{17}\right)+\left(\frac{10}{20} \cdot \frac{9}{19} \cdot \frac{8}{18} \cdot \frac{2}{17}\right)+\left(\frac{10}{20} \cdot \frac{9}{19} \cdot \frac{8}{18} \cdot \frac{8}{17}\right)+\left(\frac{2}{20} \cdot \frac{10}{19} \cdot \frac{9}{18} \cdot \frac{8}{17}\right)+\left(\frac{8}{20} \cdot \frac{10}{19} \cdot \frac{9}{18} \cdot \frac{8}{17}\right) \end{eqnarray*}$

Ich habe eine Verständnisfrage. Gilt auch das Ereignis: BBBB ?

23.03.2014, 11:38

10001000Nick1

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Bei BBBB hast du ja vier blaue Kugeln. Da stand aber "genau drei blaue Kugeln". Deswegen zählt das hier nicht.

Außerdem stand in der Aufgabe, dass mit Zurücklegen gezogen wird. Das hast du nicht berücksichtigt.

Was sollen eigentlich die einzelnen Summanden bedeuten? Ich glaube, da fehlen noch ein paar.

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23.03.2014, 11:46

Bonheur

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Stimmt.

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot\left(\left(\frac{10}{20}\right)^{3} \cdot \left(\frac{2}{20}\right)\right)+2 \cdot \left(\left(\frac{10}{20}\right)^{3} \cdot \left(\frac{8}{20}\right)\right) \end{eqnarray*}$

Dann würde ich das so formulieren.

23.03.2014, 11:48

10001000Nick1

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Wieso multiplizierst du denn mit 2? Es gibt doch 4 Möglichkeiten, wo die andersfarbige Kugel sein kann, also BBBR, BBRB, BRBB, RBBB (und das gleiche auch noch mit Grün).
Du musst also mit 4 multiplizieren.

23.03.2014, 11:57

Bonheur

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Verstehe.

c)

Diese Aufgabentypen fallen mir besonders schwer.

Versuch:

Die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen, beträgt:

$\begin{eqnarray*} P("Rot")=\frac{2}{20} \end{eqnarray*}$

Gegenwahrscheinlichkeit:

$\begin{eqnarray*} P(\overline{Rot}) = \frac{18}{20} \end{eqnarray*}$

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} 1-\left(\frac{18}{20}\right)^{n} \leq 0,9 \end{eqnarray*}$

n repräsentiert die Anzahl der Versuche beim Ziehen.

23.03.2014, 12:04

10001000Nick1

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Wenn du aus dem $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ machst, dann stimmt es.

23.03.2014, 12:12

Bonheur

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Stimmt. Da steht ja wenigstens 90 %. smile

smile

$\begin{eqnarray*} 1-\left(\frac{18}{20}\right)^{n} \geq 0,9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\left(\frac{18}{20}\right)^{n} \geq -0,1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{18}{20}\right)^{n} \leq 0,1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \cdot log\left(\frac{18}{20}\right) \leq log(0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \geq \frac{log(0,1)}{log\left(\frac{18}{20}\right)} \end{eqnarray*}$

d) Hier brauche ich einen Tipp. smile

smile

23.03.2014, 12:24

10001000Nick1

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Das Ergebnis solltest du aber noch ausrechnen und aufrunden, denn es war ja nach der Mindestanzahl der Ziehungen gefragt worden. Da sollte man immer eine natürliche Zahl angeben.

Zu d):
Man kann ja jede der Urnen mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 wählen. Angenommen, man hat die erste Urne gewählt: Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, "Rot" zu ziehen? Und wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit, wenn man die zweite Urne gewählt hat? Das dann noch richtig in eine Rechnung packen. smile

smile

Übrigens: Du wendest dabei das Gesetz
von der totalen Wahrscheinlichkeit an.

Für den zweiten Teil der Aufgabe musst du den Erwartungswert des Gewinns berechnen.

23.03.2014, 12:38

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} P(A) = P\left(A\mid B\right)\cdot P(B)+P\left(A\mid B^c\right)\cdot P\left(B^c\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A) = P\left(\frac{2}{20}\mid \frac{4}{20}\right)\cdot P(\frac{4}{20})+P\left(\frac{2}{20}\mid \frac{16}{20}\right)\cdot P\left(\frac{16}{20}\right) \end{eqnarray*}$

so hier?

23.03.2014, 12:41

10001000Nick1

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Was soll das denn sein? Du berechnest die Wahrscheinlichkeit einer Zahl?

Am besten, du vergisst die Formel jetzt mal kurz. Diese Aufgabe kriegen wir auch so hin. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Beantworte mal meine Fragen oben:

Zitat:

Angenommen, man hat die erste Urne gewählt: Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, "Rot" zu ziehen? Und wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit, wenn man die zweite Urne gewählt hat?

23.03.2014, 12:44

Bonheur

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Alles klar.

Urne 1:
$\begin{eqnarray*} P("rot")=\frac{2}{20} \end{eqnarray*}$

Urne 2:
$\begin{eqnarray*} P_{2}("rot")=\frac{4}{20} \end{eqnarray*}$

23.03.2014, 12:50

10001000Nick1

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Gut. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, Urne 1 zu wählen und dann daraus eine rote Kugel zu ziehen?

Und wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, Urne 2 zu wählen und dann daraus eine rote Kugel zu ziehen?

Diese Wahrscheinlichkeiten dann einfach addieren, dann hast du die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen.

23.03.2014, 12:54

Bonheur

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Die Wahrscheinlichkeit Urne 1 auszuwählen, beträgt 1/2 und daraus die Kugel zu entnehmen ,beträgt: 2/20

Die Wahrscheinlichkeit Urne 2 auszuwählen, beträgt 1/2 und daraus die Kugel zu entnehmen , beträgt: 4/20

1/2 * 2/20 + 1/2 * 4/20

so hier ?

23.03.2014, 13:00

10001000Nick1

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Richtig.

Und jetzt musst du den Erwartungswert für den Gewinn berechnen.

23.03.2014, 13:12

Bonheur

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x sei der Einsatz.

Urne 1:

rot: 2/20

grün: 8/20

blau: 10/20

Urne 2:

rot: 4/20

grün: 8/20

blau: 8/20

$\begin{eqnarray*} (20-x) \cdot \frac{2}{20} - \frac{8}{20}x-\frac{10}{20}x=E(X) \end{eqnarray*}$

Mache ich das richtig ?

Jetzt noch den Erwartungswert von der zweiten Urne bestimmen, dann beide Werte zusammen rechnen.

23.03.2014, 13:21

10001000Nick1

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Nein, so stimmt das nicht. Die Wahrscheinlichkeiten von blau und grün interessieren hier gar nicht, es ist ja nur wichtig, ob man rot zieht oder nicht. Außerdem betrachtet man beide Urnen zusammen, nicht getrennt.

Erstmal musst du dir überlegen, welche möglichen Ausgänge es überhaupt gibt. Das sind zwei Stück: Man gewinnt $\begin{eqnarray*} (20-x) \end{eqnarray*}$ (falls die gezogene Kugel rot ist) und man "gewinnt" $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ , falls die gezogene Kugel nicht rot ist.
Jetzt weißt du ja auch die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse (hast du gerade berechnet).
Wie kann man jetzt daraus den Erwartungswert berechnen?

23.03.2014, 13:32

Bonheur

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Dann müsste eigentlich folgender Ansatz gelten:

$\begin{eqnarray*} 0>(20-x) \cdot \frac{3}{20} \end{eqnarray*}$

23.03.2014, 13:38

10001000Nick1

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Jetzt hast du aber den Verlust nicht mit einbezogen. Der Erwartungswert ist $\begin{eqnarray*} (20-x) \cdot \frac{3}{20}+(-x)\cdot \frac{17}{20}. \end{eqnarray*}$

Und wieso sollte dieser Erwarungswert kleiner 0 sein? Da würdest du ja im Durchschnitt Verlust machen. Nicht besonders fair, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.03.2014, 13:44

Bonheur

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Verstehe.

$\begin{eqnarray*} 0=(20-x) \cdot \frac{3}{20}+(-x)\cdot \frac{17}{20} \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit ist relativ hoch, dass man verliert. Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 0=-x+3 \Rightarrow x=3 \end{eqnarray*}$

so hier?

23.03.2014, 13:46

10001000Nick1

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Genau. Bei einem Einsatz von 3€ ist das Spiel fair.

23.03.2014, 13:47

Bonheur

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Juhu.

Vielen Dank Nick

Wink

Wink

23.03.2014, 13:48

10001000Nick1

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Gern geschehen! Wink

Wink

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