Ziehen von Kugeln die teilweise unterscheidbar/nicht unterscheidbar sind

23.03.2014, 11:29

12345asdf

Ziehen von Kugeln die teilweise unterscheidbar/nicht unterscheidbar sind

Hallo,

stehe bei folgender Aufgabe leider ein bisschen auf dem Schlauch.

Es handelt sich um eine Urne, welche 10 Kugeln enthält, davon sind 7 unterscheidbar (bspw. die Zahlen 1 bis 7) und 3 nicht (3 mal die Zahl 8 zum Beispiel). Wie viele Kombinationen gibt es nun, wenn ich 4 mal ziehe (ohne Zurücklegen) und
a) die Reihenfolge egal ist.
b) die Reihenfolge beachtet wird.

Wenn ich nicht 4-mal ziehen würde, sondern so lange bis keine Kugel mehr in der Urne enthalten ist, dann wäre die Lösung für Aufgabenteil a) ja einfach 1.

und für Aufgabenteil b):
$\begin{eqnarray*} \frac{10!}{3!} \end{eqnarray*}$ (meine ich?)

nur wie kriege ich es jetzt hin, dass ich k=4 beachte?

LG

23.03.2014, 13:08

Kasen75

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Hallo,

bei deiner Variante der Aufgabenstellung stimme ich deiner Lösung zu.

Ansonsten betrachte bei k=4 jeweils die 3 Fälle:

-8 Kugeln, alle Kugeln unterscheidbar
-9 Kugeln, zwei Kugeln nicht unterscheidbar
-10 Kugeln, drei Kugeln nicht unterscheidbar

Im ersten Fall ist keine Wiederholung möglich, alle Kugeln sind unterscheidbar und die Reihenfolge wird nicht beachtet.

Im zweiten Fall kann man davon ausgehen, dass schon 2 Plätze belegt sind. Jetzt muss man nur für die übrigen 2 Plätze die Anzahl der Möglichkeiten berechnen.

Grüße

24.03.2014, 16:09

12345asdf

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Vielen Dank für die Antwort.

für Aufgabenteil a) komme ich somit auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{8!}{4!\cdot (8-4!)} + \frac{7!}{2!\cdot (7-2!)} + \frac{7!}{1!\cdot (7-1!)} = 98 \end{eqnarray*}$

und für b) (da bin ich mir wegen Mal und Plus nicht wirklich sicher)

$\begin{eqnarray*} \frac{8!}{(8-4)!} + \frac{7!}{(7-2)!} \cdot \frac{4!}{2!} + \frac{7!}{(7-1)!} \cdot \frac{4!}{1!} = 2352 \end{eqnarray*}$

Wenn ich Fall 2 und 3 mit Beachtung der Reihenfolge betrachte, dann gibt es für die gezogenen Kugeln ja wieder $\begin{eqnarray*} \frac{4!}{2!} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{4!}{1!} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten diese anzuordnen. Muss diese Anzahl dann addiert oder multipliziert werden? (Ich tendiere ja wie zu sehen zu multiplizieren)

24.03.2014, 18:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von 12345asdf
$\begin{eqnarray*} \frac{8!}{(8-4)!} + \frac{7!}{(7-2)!} \cdot \frac{4!}{2!} + \frac{7!}{(7-1)!} \cdot \frac{4!}{1!} = 2352 \end{eqnarray*}$

Nein, statt $\begin{eqnarray*} \frac{4!}{2!} \end{eqnarray*}$ sollte da $\begin{eqnarray*} \binom{4}{2} \end{eqnarray*}$ , und statt $\begin{eqnarray*} \frac{4!}{1!} \end{eqnarray*}$ sollte da $\begin{eqnarray*} \binom{4}{3} \end{eqnarray*}$ stehen.

Erklärung: $\begin{eqnarray*} \binom{4}{k} \end{eqnarray*}$ kennzeichnet die Möglichkeiten für die Positionen, wo die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gezogenen 8er-Kugeln auf der Liste der 4 gezogenen Kugeln landen - da sie ununterscheidbar sind, müssen hier Binomialkoeffizienten ran!!! Die restlichen $\begin{eqnarray*} 4-k \end{eqnarray*}$ Plätze werden (wie von dir richtig angegeben) durch Variationen von $\begin{eqnarray*} 4-k \end{eqnarray*}$ aus den 7 unterscheidbaren Einzelkugeln gebildet.

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