Operationen auf Gruppen durch Automorphismen

23.03.2014, 13:26	alge_frage123	Auf diesen Beitrag antworten »
Operationen auf Gruppen durch Automorphismen Meine Frage: Hallo, ich bin auf folgende Formulierung gestoßen: A und B seien Gruppen. A operiere von rechts auf B (durch Automorphismen). Das bedeutet für mich: f: B->B, b\|->ba Diese Abbildung ist für jede b ein Automorphismus. Nun heißt es weiter: Die zugehörige Linksoperation ist eine Operation durch Automorphismen. Was ich mich Frage: "operiert durch Automorphismen" und "ist eine Operation durch Automorphismen" ist das gleiche oder? Aber was bedeutet diese Aussage dann? Wird damit darauf angespielt, das Links- und Rechtsoperation in eindeutiger Relation stehen? Meine Ideen:* Ich vermute, das es da irgendeinen Unterschied gibt, den ich nicht sehe. Oder aber es ist das gleiche und es wird hier zu einer Linksoperation (warum auch immer...) übergegangen.
24.03.2014, 12:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ operiert auf $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ also ist nach Voraussetzung $\begin{eqnarray} \forall a\in A : \phi_a:B\to B,b \to ba \end{eqnarray}$ eine Gruppenoperation von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ auf der Menge $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und ein Gruppenautomorphismus von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ , d.h. also bijektiv und $\begin{eqnarray} \forall a\in A , b_1,b_2\in B : (b_1b_2)a=(b_1a)(b_2a) \end{eqnarray}$ . Dass zu jeder Rechtsoperation eine Linksoperation gehört, findest du hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppenoperation Die Behauptung ist dann, dass auch diese Linksoperation für jedes $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ ein Gruppenautomorphismus von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist.

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