Pascalsch'sches Dreieck, Binominialkoeffizient, Summenzeichen

23.03.2014, 13:46

NoBody42

Pascalsch'sches Dreieck, Binominialkoeffizient, Summenzeichen

Meine Frage:
Guten Tag!

Für folgende Aufgabe habe ich eine Lösung trotzdem versteh ich nicht wie man darauf kommt.

Bitte bestimmen Sie einen Wert x Element R mit
\sum\limits_{i=0}^{500} \begin{pmatrix} 500 \\ i \end{pmatrix} * 8^{i} = x^{1000}

Ist dieser Wert eindeutig bestimmbar?

\sum\limits_{i=0}^n a^{i} * b^{n-1} = (a+b)^{n} Setzt man n=500 , a=8 und b=1

Wie kommt man auf diese Gleichung oder woher kommt sie? Wie kommt man auf die Zuweisung der Werte?

\sum\limits_{i=0}^{500} \begin{pmatrix} 500 \\ i \end{pmatrix} * 8^{i} = x^{1000} = (8+1)^{500} = 9^500 = x^{2*500} = x^{2}^{500}

Hier verstehe ich nicht wie man von der 9 auf das x kommt und wieso man dann sagen kann, dass x^2 gleich 9 ist wenn da noch ein hoch 500 steht.

Meine Ideen:
Ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen. Vielen Dank!

23.03.2014, 14:13

Gast11022013

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Das ist der binomische Lehrsatz, der hier verwendet wird.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^n\cdot b^{n-k}=(a+b)^n \end{eqnarray*}$

Dann kannst du in deiner Summe noch den Faktor

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{500} \binom{500}{i}8^i\cdot 1^{n-i} \end{eqnarray*}$

anhängen. Dadurch wird der Ausdruck im Summenzeichen ja nicht verändert. Nun hast du eben die Form des binomischen Lehrsatzes und kannst ihn anwenden. Dann ist a=8 und b=1

Also ist der Wert der Summe

9^500

Dieses wird mit $\begin{eqnarray*} x^{1000} \end{eqnarray*}$ gleichgesetzt.

$\begin{eqnarray*} 9^{500}=x^{1000}=(x^2)^{500} \end{eqnarray*}$

Nun vergleicht man nur noch die Basis, bzw. zieht die 500te Wurzel.
Dann erhältst du nun mal $\begin{eqnarray*} 9=x^2 \end{eqnarray*}$

Um die Formeln zu erzeugen musst du die Latex-Klammern setzen. Oder du markierst die entsprechende Textstelle und drückst dann auf das f(x)-Symbol. Das findest du über dem Eingabefeld. Es ist das fünfte Symbol von rechts.

23.03.2014, 14:25

Kasen75

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RE: Pascalsch'sches Dreieck, Binominialkoeffizient, Summenzeichen

Zitat:

Original von NoBody42

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n a^{i} * b^{n-1} = (a+b)^{n} \end{eqnarray*}$ Setzt man n=500 , a=8 und b=1

Wie kommt man auf diese Gleichung oder woher kommt sie? Wie kommt man auf die Zuweisung der Werte?

Diese Gleichung ist nicht richtig. Hier fehlt der Binomialkoeffizient. Des Weiteren ist der Exponent n-i und nicht n-1.

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