Integralrechnung maximaler Flächeninhalt Viereck

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23.03.2014, 14:17	biene2013	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung maximaler Flächeninhalt Viereck Meine Frage: Das Schaubild der Funktion f mit f(x)=(x-2)(x+2) schneidet die positive x-Achse in A, die y-Achse in B. C sei ein Punkt dem Schaubild im 4. Quadranten. Wie muss man C wählen , damit das Viereck OACB maximalen Flächeninhalt hat? O=Ursprung(0/0) Meine Ideen:* ich hatte in die Parabel ein Rechteck oder ein Trapez gelegt und Mithilfe der Flächenformeln versucht den maximalen Flächeninhalt zu bestimmen, nun ergeben die Punkte oben allerdings ein Viereck und ich kann keine Flächenformeln anwenden, gibt es einen besseren Ansatz? Über eure Hilfe, würde ich mich sehr freuen. Grüße biene2013
23.03.2014, 14:27	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck Du kannst ein Rechteck und zwei Dreiecke bilden: [attach]33678[/attach]
23.03.2014, 14:34	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst das Viereck in ein Trapez und ein (rechtwinkliges) Dreieck zerlegen. So kannst du den Flächeninhalt des Vierecks berechnen. [attach]33679[/attach] Oh, da hat meine Zeichnung wohl zu lange gedauert.
23.03.2014, 14:46	biene2013!	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck hey sulo, vielen dank für die schnelle Lösung. Das Rechteck hatte ich sogar genauso ausgerechnet. Mein Lehrer hat nun als Punk C allerdings C(1/-3) als Ergebnis angegeben, dass kann so aber doch nicht stimmen, oder?. Wie gesagt hatte das Rechteck genauso wie du. Grüße biene2013
23.03.2014, 14:54	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck Zunächst: Der Vorschlag von Nick geht genauso gut, ist eventuell wegen der etwas kompakteren Trapezformel zunächst etwas schwieriger. Theoretisch sind aber beide Wege identisch. Zu deiner Frage: Ich habe die Aufgabe noch nicht gerechnet, denn es war nicht klar, ob du die Lösung mit uns zusammen erarbeiten möchtest oder nur den Tipp zur Zerlegung brauchst. Wir müssen also zunächst erst einmal die Funktionsgleichung aufstellen. Dazu würde ich mit xc und yc für die unbekannten Koordinaten an C arbeiten. Die Koordinaten von A und B sind bekannt, wir sollten sie auch verwenden. Versuche doch erst einmal, die Flächenformeln für die Dreiecke und das Rechteck aufzustellen. Wenn du willst (und kannst), kannst du auch schon die fertige Funktionsgleichung aufschreiben. Bitte beachte, dass ich in meiner Zeichnung den Punkt C willkürlich eingezeichnet habe. Man sollte keinesfalls versuchen, seine Koordinaten aus der Zeichnung "abzulesen" und in der Rechnung zu verwenden.
23.03.2014, 16:02	biene2013!	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck Hi Dreiecke: A=2(1/2ah) Rechteck: A=ab Ages= 2(1/2ah)+ah hast du das so gemeint? Wie hast du das gemeint, dass ich mit den Punkten arbeiten soll?
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23.03.2014, 16:06	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck Hi, in welche Klassenstufe gehst du denn? Es muss doch Oberstufe sein, oder? "Mit den Punkten arbeiten" bedeutet, dass du die Koordinaten von A und B verwenden solltest so, wie sie gebraucht werden. Deine Flächenformeln sind im Prinzip richtig, allerdings müssen wir a,b und h jeweils passend durch unsere Werte ersetzen. Hier kommen die Koordinaten zum Einsatz und unsere unbekannten Werte xc und yc. Wie wäre also der Flächeninhalt des Rechtecks anzugeben?
23.03.2014, 16:19	biene2013!	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck A= 1/2 axc+ 1/2 ayc+ xc*yc ist das so schon mal richtig? aber wie soll ich die punkte in die Funktion einsetzten?
23.03.2014, 16:30	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck A= 1/2 axc + 1/2 ayc + xc*yc Das a muss noch aus der Formel verschwinden. Weiterhin musst du noch mal nach den Dreiecksflächen schauen. Wie lang und wie hoch sind sie jeweils? Schau noch mla genau hin. Beachte dabei, dass du die Werte von A (x-Koordinate: 2) und B (y-Koordinate: -4) verwenden solltest. [attach]33680[/attach]
23.03.2014, 17:00	biene2013!	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck wenn ich a eliminiere dann würde meine Gleichung so lauten: A= 1/2(2-yc)xc+ 1/2(-4+xc)yc+ xc*yc Ist das soweit korrekt, kann ich nun die erste Ableitung bilden um den Extrempunkt zu bestimmen?
23.03.2014, 17:10	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck Ist schon sehr viel besser und ich verbessere mal die restlichen Fehler, damit wir weiter kommen. Es scheint nämlich, als hättest du xc und yc vertauscht. A= 1/2(2-xc)yc+ 1/2(-4-yc)xc+ xcyc Ich habe dir auch ein Rechenzeichen geändert: Das yc muss von der -4 subtrahiert werden. Bitte frage unbedingt nach, wenn du eine meiner Änderungen nicht verstehst. Jetzt haben wir die Funktionsgleichung richtig aufgestellt, aber wie du siehst, haben wir noch zwei Variablen. Mit Hilfe unserer Funktionsgleichung können wir yc ersetzen: y = (x+2)(x-2) Ich würde die Klammern auflösen und dann jedes yc durch den gefundenen Ausdruck ersetzen. Beachte, dass du den gefundenen Ausdruck in Klammern setzen solltest.
23.03.2014, 17:21	biene2013!	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck A=1/2(2-xc)(x^2-4)+1/2(-4-(x^2-4)xc+xc*(x^2-4) so richtig?
23.03.2014, 17:26	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck Jo, ist richtig. Jetzt kannst du die Klammern auflösen und vereinfachen. Die gute Nachricht: Die so entstehende Funktionsgleichung ist dann wieder recht einfach.
23.03.2014, 17:42	biene2013!	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck Wird xc dann zu x? Hab bis jetzt die Gleichung: A= x^2-4- (xcx^2)/2 -2xc-x^2/2+x^2xc
23.03.2014, 17:50	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck Ja, du kannst x für xc schreiben, behalte aber im Hintergrund, dass du die x-Koordinate von c berechnest. Deine Gleichung stimmt nicht, ich kann sie auch nicht ganz nachvollziehen.
23.03.2014, 17:57	biene2013!	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck So besser: A= x^3-x^2-10x-4?
23.03.2014, 18:03	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck Das x³ verschwindet völlig, wenn du die Klammern richtig auflöst. Du erhältst eine recht einfache quadratische Gleichung, die dann sehr leicht abzuleiten ist. Ich bin erst mal beim Abendessen, spätestens in 1 Stunde wieder hier.
23.03.2014, 18:25	biene2013!	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck x²+4x-8=A Die Ableitung ist dann A´= 2x+4 muss ich dann die erste Ableitung mit 0 gleichsetzten?
23.03.2014, 18:42	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck Stimmt leider immer noch nicht. Schreibe doch mal Zwischenschritte auf. 1/2(2-x)(x²-4) = 1/2(-4-(x²-4)x = xc*(x²-4) = Wenn wir es stückweise machen, müsste es klappen.
23.03.2014, 18:48	biene2013!	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck 1/2(2-x)(x²-4) =1/2(2x²-8-x³+4x)= x²-4-x³/2+2x 1/2(-4-(x²-4)x =1/2(-4-x²+4)x= 1/2(-4x-x³+4x)= -x³/2 x*(x²-4) = x³-4x
23.03.2014, 18:52	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck 1/2(2-x)(x²-4) =1/2(2x²-8-x³+4x)= x²-4-x³/2+2x 1/2(-4-(x²-4)x =1/2(-4-x²+4)x= 1/2(-4x-x³+4x)= -x³/2 x(x²-4) = x³-4x Die Zwischenergebnisse stimmen alle. Fassen wir sie nun zusammen und sortieren dann: A(x) = 1/2(2-x)(x²-4) + 1/2(-4-(x²-4)x + xc(x²-4) A(x) = x²-4-x³/2+2x -x³/2 + x³-4x = A(x) = x³ - x³/2 - x³/2 + x² + 2x - 4x - 4 = ....
23.03.2014, 19:42	biene2013!	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck A(X)= x²-2x-4 A´= 2x-2 mit 0 gleich gesetzt 0= 2x-2 2=2x 1=x y=x²-4 y=1²-4 y=-3 Also ist der Punkt C(1/-3). Vielen Dank du hast mir den heutigen Tag gerettet!!
23.03.2014, 19:44	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung maximaler Flächeninhalt viereck Ja, ist alles richtig. Gern geschehen.

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