harmonisch gedämpfter Oszillator

23.03.2014, 16:50

matheuser123

harmonisch gedämpfter Oszillator

Meine Frage:
Hallo!
Sitz an einem einfachen Beispiel, aber ich hab einfach nicht den Durchblick. Und zwar:
Es geht um einen harmonisch gedämpften Oszillator der Masse m, Federkonstante c, Reibungskonstante k. Die Auslenkung soll x sein.
Nun gilt es die Differentialgleichungen $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{d²x}{dt²} \end{eqnarray*}$ aufzustellen.

Meine Ideen:
Meine Idee wär mal: die Kraft $\begin{eqnarray*} F = -c\cdot x \end{eqnarray*}$ .
Zudem weiß ich die Reibungskraft $\begin{eqnarray*} Fr = -k\dot v \end{eqnarray*}$ , wobei v (Geschwindigkeit) ja die erste Ableitung von x nach der Zeit ist.
Also $\begin{eqnarray*} Fr = -k \frac{dx}{dt} \end{eqnarray*}$ .
Diese, meine erste Differentialgleichung, kann ich ja umformen. Wie eleminiere ich aber das Fr??
Die zweite Differentialgleichung sollte dann ja so lauten
$\begin{eqnarray*} m \frac{d²x}{dt²} = -c\dot x -k\frac{dx}{dt} \end{eqnarray*}$
Oder?

23.03.2014, 17:14

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: harmonisch gedämpfter Oszillator

Zitat:

Original von matheuser123
$\begin{eqnarray*} m \frac{d²x}{dt²} = -c\dot x -k\frac{dx}{dt} \end{eqnarray*}$
Oder?

Ich kann es gerade nicht für dich lösen, aber nur soviel:

es sollte $\begin{eqnarray*} m \frac{d²x}{dt²} = -c x -k\frac{dx}{dt} \end{eqnarray*}$ heißen. Geteilt mit m :

$\begin{eqnarray*} \frac{d²x}{dt²} = -c_1 x -k_1\frac{dx}{dt} \end{eqnarray*}$

hier steht die Lösung unter viskose Dämpfung:

http://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Ihl/TS...mass_damped.pdf

23.03.2014, 17:20

matheuser123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: harmonisch gedämpfter Oszillator
Ja sry der Punkt aufm x ist quatsch, keine Ahnung wie der da hinkommt.

Ja schon klar, die Lösung dazu finden ist kein Problem. Was ich nicht verstehe ist, ich brauche 2 (!) Differentialgleichungen, wie ich oben bereits erwähnt habe. Die zweite hab ich ja mittlerweile, aber wie bekomm ich jene für dx/dt? Da stört ja das Fr

25.03.2014, 09:30

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Du benötigst nicht zwei, sondern nur eine Differentialgleichung!!! Nach Newton gilt nämlich:

-------------- Kraft = Masse mal Beschleunigung -----------------

Auf die linke Seite kommen alle Kräfte, die auf den Massepunkt wirken, also

$\begin{eqnarray*} \text{Reibungskraft=-}c\dot x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Federkraft =-}kx \end{eqnarray*}$

Die Reibungskraft ist also proportional der Geschwindigkeit und die Federkraft ist proportional der Auslenkung x vom Nullpunkt. (Beide Annahmen sind vernünftige Näherungen.) Die Minuszeichnen sind wichtig, weil beide Kräfte der Auslenkung x entgegen wirken. Einsetzen liefert

$\begin{eqnarray*} \underbrace{-c\dot x-kx}_{\text{Kraft}}=\underbrace{m}_{\text{Masse}}\cdot \underbrace{\ddot x}_{\text{Beschleunigung}} \end{eqnarray*}$ -

25.03.2014, 13:42

matheuser123

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort.
Ja so hätt ich das auch verstanden, allerdings ist in der Aufgabe explizit eine Lösung
dx/dt = A*x +b*u
gefordert.
Der Zustandsvektor ergibt sich dabei aus x und dx/dt.
Kann ich sagen dx/dt = -k*x
und d²x/dt2 = -c*dx/dt
??
Sry für die Formatierung, bin grad am Handy.

25.03.2014, 13:46

matheuser123

Auf diesen Beitrag antworten »

denkfehler, dann fehlt ja wieder die masse.
Ich versteh einfach nicht wie ich auf diese beiden gleichungen kommen soll

Neue Frage »

Antworten »

harmonisch gedämpfter Oszillator

Verwandte Themen