Sigma-Algebra

23.03.2014, 19:27

Mary_QKQ

Sigma-Algebra

Meine Frage:
Hey,
Seien
$\begin{eqnarray*} -\infty < c < d < \infty \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} G: \left\{(a,b): -\infty < a < b < \infty \right\} \end{eqnarray*}$ .

zeige:
$\begin{eqnarray*} (c,d] \in \sigma(G) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-\infty ,c) \in \sigma(G) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
kann mir vllt jemand einen tipp geben, wie man hierbei loslegen muss?
ich hab echt nicht mal einen ansatz....logisch wäre es nur, wenn man iwie die eigenschaften eine sigma-algebra nachweisen müsste...
was meint ihr?
danke

23.03.2014, 20:10

h4mmer

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RE: Sigma-Algebra
Hallo,

Ich nehme hier an, dass $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ in deiner Def von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sind.

Du musst ausnutzen, dass Vereinigungen und Schnitte von Elementen aus der Sigmaalgebra wieder in der Sigmaalgebra liegen.

Sei also $\begin{eqnarray*} (d_n)_{n\in \mathbb N}\in \mathbb R ~\text {mit}~\lim_{n\to \infty}d_n=d,~d_n>d~\forall n \end{eqnarray*}$ .

Sei zusätzlich $\begin{eqnarray*} b>d_n~\forall n \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} D_n:=(d_n,b)\in \sigma(G) \end{eqnarray*}$ und somit ist auch $\begin{eqnarray*} \bigcup_n D_n=\dots \in \sigma(G) \end{eqnarray*}$

Bilde nun noch einen geeignete Differenenz und du bist fertig.

Viele Grüße

23.03.2014, 20:22

Mary_QKQ

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RE: Sigma-Algebra
ah ok, soweit kann ich das noch nachvollziehen!
eine geeignete differenz wovon?

und macht man das mit -unendlich genauso? denn laut definition ist ja
-unendlich kleiner als a und wäre somit nicht mehr in diesem intervall drinnen?

23.03.2014, 20:29

h4mmer

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RE: Sigma-Algebra
Du must ja irgendwie auf das Intervall $\begin{eqnarray*} (c,d] \end{eqnarray*}$ kommen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \bigcup_n D_n=\dots \in \sigma(G) \end{eqnarray*}$

Was muss denn anstatt der Punkte stehen?

Zitat:

...unendlich kleiner als a und wäre somit nicht mehr in diesem intervall drinnen

Aber dein nachzuweisende Intervall lautet ja auch $\begin{eqnarray*} (-\infty,c) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} [-\infty,c) \end{eqnarray*}$ .

23.03.2014, 20:36

Mary_QKQ

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RE: Sigma-Algebra
hmm...vielleicht (c, dn] ?

ah ja, stimmt. jetzt versteh ich das mit dem unendlichen!

23.03.2014, 20:43

h4mmer

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RE: Sigma-Algebra

Zitat:

hmm...vielleicht (c, dn] ?

Nein, das ist ziemlich daneben.

$\begin{eqnarray*} \bigcup_n D_n=\bigcup_n (d_n,b)=\dots \in \sigma(G) \end{eqnarray*}$

Versuchs nochmal.

23.03.2014, 20:48

Mary_QKQ

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RE: Sigma-Algebra
ok, ich würd sagen [d,b)

23.03.2014, 20:49

Mary_QKQ

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RE: Sigma-Algebra
ok, ich würd sagen (d,b)

23.03.2014, 21:21

h4mmer

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RE: Sigma-Algebra
Naja, d wird ja eben gerade NICHT angenommen.

Also ist $\begin{eqnarray*} \bigcup_n D_n=\bigcup_n (d_n,b)=(d,b) \in \sigma(G) \end{eqnarray*}$

Dann ist ja auch $\begin{eqnarray*} (d,b)^C\in \sigma(G) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c,b)\in \sigma(G) \end{eqnarray*}$

Also gilt auch:

$\begin{eqnarray*} (d,b)^C\cap (c,b)=(c,d]\in \sigma(G) \end{eqnarray*}$

Mit dem anderen Intervall geht es ähnlich.

Viele Grüße

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