Luchse: Wachstumsfunktionen

23.03.2014, 19:31	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Luchse: Wachstumsfunktionen In einer entlegenen Bucht lebt der Alaskaluchs, dessen Beutetiere Schneehasen sind. Eines Tages wandern Kanadaluchse ein, die den Alaskaluchsen Konkurrenz machen. Die Bestandsfunktion sind $\begin{eqnarray} N_1(t)=10 \cdot e^{-0,3t} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N_{2}(t)=\frac{10}{1+10 \cdot e^{-0,3t}} \end{eqnarray}$ Habe alle fünf Teilaufgaben gelöst, außer die letzte macht mir zu Schaffen. Bestimmen Sie näherungsweise, wann die Gesamtzahl der Luchse minimal ist ? Idee: Entweder Grenzwertbetrachtung oder Minima untersuchen. Vielen Dank
23.03.2014, 19:39	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Wann ist denn die Gesamtzahl minimal? Wenn der Bestand minimal ist.
23.03.2014, 19:39	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gesamtzahl der Luchse zur Zeit t ist $\begin{eqnarray} N_1(t)+N_2(t). \end{eqnarray}$ Davon musst du das Minimum bestimmen.
23.03.2014, 19:57	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe. Das ist "ja" die Gesamtzahl. Ich verstehe den Ansatz . Ist ja auch logisch. Wie soll ich diese Funktion bloß ableiten. $\begin{eqnarray} N_{G}(t)=10 \cdot e^{-0,3t}+\frac{10}{1+10 \cdot e^{-0,3t}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} N'_{G}(t)=-3 \cdot e^{-0,3t}+\frac{30 \cdot e^{-0,3}}{\left(1+10 \cdot e^{-0,3t}\right)^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} N'_{G}(t)=0 \end{eqnarray}$ Wie soll ich diese kompakte Gleichung nach t umstellen.
24.03.2014, 00:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung ist ja richtig Und das Nullsetzen liefert - selbstverständlich nach entsprechender Kürzung - eine einfache quadratische Gleichung. Wenn du $\begin{eqnarray} z = e^{-0.3t} \end{eqnarray}$ setzt, kommt $\begin{eqnarray} 10 = (1 + 10z)^2 \end{eqnarray}$ Weiter ist es nur noch Routine ... mY+
27.03.2014, 16:59	pennystoxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Mich hat die Aufgabe auch interessiert und ich habe versucht sie zu lösen. Mein Ergebnis lautet $\begin{eqnarray} t=5,11 \end{eqnarray}$ . Habt ihr das auch raus?
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27.03.2014, 17:13	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Zumindest ich habe das gleiche raus.
27.03.2014, 17:23	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Ableitung ist doch ein kleiner Fehler: Im Zähler des Bruches muss stehen $\begin{eqnarray} 30e^{-0,3t} \end{eqnarray}$ , nicht $\begin{eqnarray} 30e^{-0,3} \end{eqnarray}$ . Dein Ergebnis stimmt. Das genaue Ergebnis ist $\begin{eqnarray} \frac{10}{3}\ln\left(\frac{10\left(\sqrt{10}+1\right)}{9}\right). \end{eqnarray}$
27.03.2014, 17:33	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo. Das ist mir aus Versehn passiert. Vielen Dank.

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