Grenzwert

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23.03.2014, 19:57

ruri14

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Grenzwert

Meine Frage:
Ich bins nochmal... smile

Jetzt zum Thema Grenzwert. Augenzwinkern

Aufgabe:

Überprüfe die Behauptung mithilfe der Definition des Grenzwertes.

a) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{12n}{4n+5} = 3 \end{eqnarray*}$

da würde ich jetzt irgendwie den Limes ausrechnen oder?

also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{12n}{n} }{\frac{4n}{n} \frac{5}{n} } \end{eqnarray*}$
dann kürze ich das und da 5/n ja eine Nullfolge ist streiche ich das auch.
Komme dann auf 12/4 also 3.
Also hab ich bewiesen, das das stimmt...
Aber hier ist die Definition angegeben und das ist:

$\begin{eqnarray*} | a_{n} - a | < E \end{eqnarray*}$
Aber was muss ich denn da jetzt machen?
Also was wollen die da genau von mir?

Meine Ideen:
HILFE.... Augenzwinkern

DANKE!!!!!!!!

23.03.2014, 20:04

10001000Nick1

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Da steht ja "mithilfe der Definition des Grenzwertes. " Du musst hier also diese Definition $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon >0 \exists ... \end{eqnarray*}$ anwenden.

23.03.2014, 20:07

ruri14

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??? Die kenn ich nicht.
Wie gesagt, das mit den Betragsstrichen steht im Buch.
Ich weiß auch mehr oder weniger wie ich das machen müsste, aber ich versteh nicht ganz was der Sinn ist weil ich es ja jetzt durch diese Rechnung rausgefunden habe...
Wir haben das immer "Trick" genannt... Augenzwinkern

23.03.2014, 20:13

10001000Nick1

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Ihr müsst doch die Definition des Grenzwertes kennengelernt haben, wenn ihr die jetzt anwenden sollt:
Eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen a $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 ~ \exists N_\varepsilon\in\mathbb{N} ~ \forall n\geq N_\varepsilon :|a_n-a|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Hast du diese Definition wirklich noch nicht gesehen?

23.03.2014, 20:16

ruri14

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Wo ich grad in mein Buch schau, seh ich was was so ähnlich aussieht...
Aber irgendwie blick ich da nicht durch...
Ich bin bei so vielen Zeichen etc. immer total verwirrt...

23.03.2014, 20:24

ruri14

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Wenn ich das mit den Betragsstrichen anwende:

$\begin{eqnarray*} | \frac{12n}{4n+5}-3 | < E \end{eqnarray*}$

so und da muss ich jetzt irgendwas multiplizieren und da komm ich auch immer durcheinander...

also irgenwie so:

$\begin{eqnarray*} | \frac{12n}{-3*(4n+5)} | < E \end{eqnarray*}$

kann das sein?
irgenwie kreuzweise multiplizieren... oder so...

23.03.2014, 20:26

10001000Nick1

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Einfach gesagt bedeutet diese Definition, dass sich eine Folge immer weiter dem Grenzwert annähert, je größer n wird.

Genauer: Zu jeder Epsilon-Umgebung um den Grenzwert gibt es ein Folgenglied, sodass alle nachfolgenden Folgenglieder innerhalb dieser Epsilon-Umgebung liegen

23.03.2014, 20:27

ruri14

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Ach ja, das weiß ich...
Und jetzt muss ich das Folgenglied rausfinden?

oder wie?
Aber dafür bräuchte ich doch ein epsilon...

23.03.2014, 20:43

10001000Nick1

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Du hast also die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \left|\frac{12n}{4n+5}-3\right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ und musst zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} N_\varepsilon\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass diese Ungleichung für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N_\varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

23.03.2014, 20:46

ruri14

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also ich muss die Ungleichung jetzt so weit wie möglich auflösen und dann für epsilon etwas einsetzen...
dann schauen ab dem wievielten Folgenglied das gilt oder?

23.03.2014, 20:49

10001000Nick1

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Was willst du denn für $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ einsetzen? Du musst doch zeigen, dass das für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt. Das bleibt so stehen.

Fasse erstmal die linke Seite der Ungleichung zusammen.

23.03.2014, 20:53

ruri14

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Wenn ich das mit den Betragsstrichen anwende:

$\begin{eqnarray*} | \frac{12n}{4n+5}-3 | < E \end{eqnarray*}$

so und da muss ich jetzt irgendwas multiplizieren und da komm ich auch immer durcheinander...

also irgenwie so:

$\begin{eqnarray*} | \frac{12n}{-3*(4n+5)} | < E \end{eqnarray*}$

Epsilon würde ich halt was einsetzen, 0,01 oder so.. und dann würde ich schauen ab dem wievielten Folgenglied. sonst mach ich das epsilon noch kleiner....

23.03.2014, 20:55

10001000Nick1

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Was machst du da? geschockt

Du sollst erstmal $\begin{eqnarray*} \frac{12n}{4n+5}-3 \end{eqnarray*}$ zussamemenfassen. Dazu musst du erstmal die 3 erweitern, sodass der Bruch, der dann entsteht, den Nenner 4n+5 hat.

23.03.2014, 20:58

ruri14

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Das ist ja mein Problem...
ich weiß da muss irgendwas kreuzweise... Hab ja viele Beispiele im Heft, und ich hab damals auch verstanden, was wir gemacht haben, aber ich weiß es nicht mehr...
Ist schon wieder sooo lange her!!!
traurig

23.03.2014, 20:59

10001000Nick1

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Du wirst doch wohl wissen, wie man Brüche erweitert!
Erweitere jetzt die 3 mit (4n+5) und dann kannst du $\begin{eqnarray*} \frac{12n}{4n+5}-3 \end{eqnarray*}$ zusammenfassen.

23.03.2014, 21:02

ruri14

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Ich hab mich mit Brüchen noch nie verstanden und merk mir da nie was... Fang irgendwie jedes mal wieder von null an.... traurig

23.03.2014, 21:09

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} 3=\frac{3}{1} \end{eqnarray*}$
Erweitern heißt, den Nenner und Zähler mit der selben Zahl zu multiplizieren (nicht 0). Dadurch ändert sich der Wert des Bruches nicht.
Um Brüche zu addieren oder subtrahieren, muss man sie zunächst gleichnamig machen, d.h. die Brüche so erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben. Und genau das wollen wir jetzt machen.

Wir haben $\begin{eqnarray*} \frac{12n}{4n+5}-\frac{3}{1} \end{eqnarray*}$ und erweitern jetzt den zweiten Bruch, sodass er den gleichen Nenner wie der erste Bruch hat. D.h. wir müssen mit 4n+5 erweitern.

23.03.2014, 21:13

ruri14

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ok. Also ich schätze im Zähler jetzt *4n+5
und was mach ich im Nenner?

23.03.2014, 21:15

10001000Nick1

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Erweitern heißt, den Nenner und Zähler mit der selben Zahl zu multiplizieren (nicht 0).

Lesen hilft...

23.03.2014, 21:22

ruri14

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Shame on me...

Also:

$\begin{eqnarray*} | \frac{12n}{4n+5}-\frac{3(4n+5)}{4n+5} | < E \end{eqnarray*}$

und dann:

$\begin{eqnarray*} | \frac{12n-3(4n+5)}{4n+5} | < E \end{eqnarray*}$

soweit ok?? Engel

23.03.2014, 21:23

10001000Nick1

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Na endlich. smile

Und jetzt kannst du den Zähler vereinfachen, also ausmultiplizieren und dann zusammenfassen.

23.03.2014, 21:28

ruri14

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$\begin{eqnarray*} | \frac{12n-12n-15}{4n+5} | < E \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | \frac{-15}{4n+5} | < E \end{eqnarray*}$

so, und jetzt?

23.03.2014, 21:30

10001000Nick1

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Jetzt kümmern wir uns um die Betragsstriche.

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|} \end{eqnarray*}$
Und dann versuchst du, die Betragsstriche zu beseitigen.

23.03.2014, 21:32

ruri14

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d.h. ich muss den Nenner jetzt positiv machen oder?

also:

$\begin{eqnarray*} \frac{15}{4n+5} \end{eqnarray*}$

23.03.2014, 21:33

10001000Nick1

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Auch richtig. smile

Und jetzt kannst du $\begin{eqnarray*} \frac{15}{4n+5}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ nach n umstellen.

23.03.2014, 21:36

ruri14

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ahh...

$\begin{eqnarray*} \frac{15}{E} < 4n+5 \end{eqnarray*}$

so?

23.03.2014, 21:42

10001000Nick1

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Ja. Und weiter?

23.03.2014, 21:44

ruri14

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hm...

dann muss ich für epsilon was einsetzen???

oder so:

$\begin{eqnarray*} \frac{15}{E} -5 < 4n \end{eqnarray*}$

??

23.03.2014, 21:53

10001000Nick1

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Nein, du musst da nichts für $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ einsetzen. Du willst ja zeigen, dass das für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn du da einen Wert einsetzt, wie willst du das dann für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ zeigen? Da müsstest du ja alle positiven reellen Zahlen einsetzen (denn du weißt ja nur, dass $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ ist).

Wenn du die Ungleichung jetzt noch durch 4 dividierst, bist du fertig.
$\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{4}\left(\frac{15}{\varepsilon}-5\right) \end{eqnarray*}$
D.h. die Ungleichung, die wir am Anfang hatten, nämlich $\begin{eqnarray*} \left|\frac{12n}{4n+5}-3\right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ , gilt für alle $\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{4}\left(\frac{15}{\varepsilon}-5\right). \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir ja eigentlich ein $\begin{eqnarray*} N_\varepsilon \in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gesucht, sodass die Ungleichung für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N_\varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt. Weißt du, wie wir jetzt auf dieses $\begin{eqnarray*} N_\varepsilon \end{eqnarray*}$ kommen?

23.03.2014, 21:55

ruri14

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aha...

nein, was meinst du mit NEpsilon?

Kann ich das nicht so stehen lassen?

Und dann halt wenn ich das Folgenglied haben wollte, das epsilon einsetzen?

23.03.2014, 22:06

10001000Nick1

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Du willst also $\begin{eqnarray*} N_\varepsilon=\frac{1}{4}\left(\frac{15}{\varepsilon}-5\right) \end{eqnarray*}$ nehmen? Das würde eigentlich gehen, wenn nicht gefordert wird, dass $\begin{eqnarray*} N_\varepsilon \in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sein soll.

Wir können das jetzt aber einfach aufrunden, sodass da eine natürliche Zahl rauskommt. Dazu gibt es die ceil-Funktion: $\begin{eqnarray*} \lceil a \rceil \end{eqnarray*}$ ist die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich a ist.

Also könnten wir jetzt $\begin{eqnarray*} N_\varepsilon=\left\lceil\frac{1}{4}\left(\frac{15}{\varepsilon}-5\right)\right\rceil \end{eqnarray*}$ nehmen.

Da gibt es jetzt nur noch ein kleines Problem: Falls $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\left(\frac{15}{\varepsilon}-5\right) \end{eqnarray*}$ selbst schon eine natürliche Zahl ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \left\lceil\frac{1}{4}\left(\frac{15}{\varepsilon}-5\right)\right\rceil =\frac{1}{4}\left(\frac{15}{\varepsilon}-5\right). \end{eqnarray*}$

Jetzt hatten wir ja rausgekriegt, dass $\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{4}\left(\frac{15}{\varepsilon}-5\right) \end{eqnarray*}$ sein muss und außerdem $\begin{eqnarray*} n\geq N_\varepsilon. \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} n\geq N_\varepsilon =\left\lceil\frac{1}{4}\left(\frac{15}{\varepsilon}-5\right)\right\rceil =\frac{1}{4}\left(\frac{15}{\varepsilon}-5\right) \end{eqnarray*}$ ist, dann wäre ja auch $\begin{eqnarray*} n=\frac{1}{4}\left(\frac{15}{\varepsilon}-5\right) \end{eqnarray*}$ möglich, im Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{4}\left(\frac{15}{\varepsilon}-5\right) \end{eqnarray*}$ .

Also nehmen wir jetzt einfach $\begin{eqnarray*} N_\varepsilon=\left\lceil\frac{1}{4}\left(\frac{15}{\varepsilon}-5\right)\right\rceil +1 \end{eqnarray*}$ , dann sind wir auf der sicheren Seite.

23.03.2014, 22:09

ruri14

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jetzt bin ich endgültig verwirrt...
Davon hab ich ja noch nie was gehört!!
Und wir haben diese Aufgaben ellenlang in der Schule gerechnet...
Das muss doch einfacher gehen.

23.03.2014, 22:10

10001000Nick1

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Am besten du zeigst mir mal, wie ihr das in der Schule gerechnet habt.

23.03.2014, 22:14

ruri14

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hm...
Bin schon im Bett...
Hab die mathesachen unten...
Auswendig weis ich das jetzt auch nicht.
Bist du morgen nochmal da?
Dann schick ich es dir morgenfrüh. smile

Bin auch schon ziemlich fertig.... Meine Konzentration ist bestimmt auch nicht mehr die beste.... smile

23.03.2014, 22:15

10001000Nick1

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Ich bin die ganze Woche da. Augenzwinkern

OK, dann poste es morgen. Gute Nacht!

23.03.2014, 22:16

ruri14

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super!

24.03.2014, 05:51

ruri14

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Guten Morgen,

also das war ja bis jetzt die 308a)
in der Schule haben wir eben die 308c) gemacht und die haben wir an
zwei Tagen gemacht. Deswegen bin ich warscheinlich auch so verwirrt.
Ich hänge dir die Fotos an, wie wir es gemacht haben (ich hoffe du kannst es lesen...)

Bin heute Nachmittag wieder online.
Bis dann!

(Irgendwie kann der nur das eine Bild auf meinem PC speichern... traurig

24.03.2014, 05:53

ruri14

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So, hier jetzt noch das andere bild...

24.03.2014, 14:38

10001000Nick1

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OK, das was ihr da gemacht habt, ist so ähnlich wie das, was ich oben geschrieben hatte.

Dann sind wir also fertig, da wir ja $\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{4}\left(\frac{15}{\varepsilon}-5\right) \end{eqnarray*}$ schon rausgekriegt haben.
Ich weiß nicht, ob ihr jetzt noch irgendwelche Werte für $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ einsetzen sollt, und somit guckt, ab wann die Folgenglieder innerhalb der $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung liegen. Aber um zu zeigen, dass 3 der Grenzwert ist, ist das jedenfalls nicht mehr nötig.

24.03.2014, 17:32

ruri14

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hui super! smile

DANKESCHÖN!!!

Wink

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