Integral lösen

23.03.2014, 21:15

xjavunx

Integral lösen

Hallo,

ich kriege es einfach nicht hin das folgende Integral zu lösen. Auch mehrfache partielle Integration hat mir nicht weitergeholen. Auch WolframAlpha spuckt mir keine Lösung für das unbestimmte Integral aus.

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! x^{2}*e^{sin(2x)}*cos(x^{3}) \, dx \end{eqnarray*}$

Und ich hätte noch eine Verständnisfrage! Wie kann es sein, dass es für das unbestimmte Integral keine Stammfunktion als Lösung gibt, es jedoch eine Lösung für das bestimmte Integral gibt? Um ein bestimmtes Integral auflösen zu können muss ich doch zuerst das unbestimmte Integral davon berechnen um dann die Grenzen einzusetzen. Oder hab ich hier einen Denkfehler?

23.03.2014, 22:10

lgrizu

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RE: Integral lösen
Ich glaube kaum, dass du für die Funktion eine Stammfunktion findest. Die Existenz einer Stammfunktion ist allerdings nicht gleichbedeutend mit der Existenz eines Integrals oder eines Integralwertes. Der Hauptsatz der Analysis sagt lediglich aus:

Wenn gilt $\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) dx=F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von f(x) und es gilt $\begin{eqnarray*} F'(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ .

Bei der Technik des integrierens bestimmt man häufig die Stammfunktion, sofern denn eine existiert. Wenn keine existiert muss man sich was anderes überlegen.

23.03.2014, 23:04

xjavunx

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RE: Integral lösen
Was heißt denn was anderes überlegen? Welche Möglichkeiten gibts denn da?

Bzw. ganz konkret: Wie würdet ihr diese Aufgabe lösen?

24.03.2014, 09:14

klarsoweit

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RE: Integral lösen

Zitat:

Original von xjavunx
Wie kann es sein, dass es für das unbestimmte Integral keine Stammfunktion als Lösung gibt, es jedoch eine Lösung für das bestimmte Integral gibt?

Nun ja, eine Stammfunktion einer stetigen Funktion gibt es immer. So ist $\begin{eqnarray*} F(x) := \int_0^x f(t) ~dt \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von f(x). Die Frage ist, ob sich diese Stammfunktion durch andere Funktionen wie Polynome, e-Funktion oder trigonometrische Funktionen ausdrücken läßt.

Zitat:

Original von xjavunx
Um ein bestimmtes Integral auflösen zu können muss ich doch zuerst das unbestimmte Integral davon berechnen um dann die Grenzen einzusetzen.

Auch das ist nicht zwingend. Beispielsweise kann man problemlos den Wert von $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 sin(x^{2013}) \cdot e^{x^{2014}} ~dx \end{eqnarray*}$ ohne Kenntnis einer Stammfunktion ausrechnen. smile

24.03.2014, 19:27

xjavunx

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RE: Integral lösen

Zitat:

Original von klarsoweit
Auch das ist nicht zwingend. Beispielsweise kann man problemlos den Wert von $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 sin(x^{2013}) \cdot e^{x^{2014}} ~dx \end{eqnarray*}$ ohne Kenntnis einer Stammfunktion ausrechnen. smile

Und wie genau funktioniert das? Habe dazu leider nichts gefunden...

25.03.2014, 06:52

Leopold

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Wenn ein integrierbares $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [-a,a] \end{eqnarray*}$ ungerade ist, also $\begin{eqnarray*} f(-x) = -f(x) \end{eqnarray*}$ erfüllt, was ist dann mit

$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^a f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ?

EDIT
Nach Hinweis von magic_hero Vorzeichen korrigiert.

25.03.2014, 08:57

magic_hero

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Zitat:

Original von Leopold
Wenn ein integrierbares $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [-a,a] \end{eqnarray*}$ ungerade ist, also $\begin{eqnarray*} f(-x) = \textcolor{red}{-} f(x) \end{eqnarray*}$ erfüllt [...]

Dir ist da bei der Definition von ungeraden Funktionen ein Minuszeichen abhanden gekommen. Nicht dass das zur Verwirrung führt. Augenzwinkern

25.03.2014, 15:36

xjavunx

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Die Infos sind ja auch alle schön und gut, aber ich verstehe absolut nicht wie sie beim lösen des Integrals helfen sollen?

Noch mal genau gefragt: Wie löse ich das Integral? Am besten Schritt-für-Schritt...

25.03.2014, 22:31

grosserloewe

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Nur mal ne Frage , wo hast Du dieses Integral her , selbst gebaut , oder ??

Nun zur Lösung:
Dieses Integral ist nicht geschlossen lösbar.
Ich habe das Integral deswegen mittels Taylorreihe gelöst.
Dabei bringt x= 0 eine gute Näherung.

Setze dabei :

$\begin{eqnarray*} e^{sin(2x)} = 1 +2x +2x^2 -2 x^4 \end{eqnarray*}$
und

$\begin{eqnarray*} \cos(x^3) = 1 -\frac{x^{6} }{2 } + \frac{x^{12} }{24} \end{eqnarray*}$

Ersetze wie gesagt, den Integrand durch diese Ausdrücke , multipliziere aus und integriere dann . $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ bleibt natürlich so.
Ich habe als Ergebnis 0.7866 erhalten.

PS:

Was ist eine Taylorreihe ?

http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe

25.03.2014, 23:11

thk

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und das x^2 noch mit ins Boot nehmen smile

Damit kommt man dann etwa auf diesen Wert 0,7866

Allerdings bleibt eine grobe Abweichung zum richtigen Ergebnis von 0,7086888...
(und ja, die 0 gehört rein)

Vllt soll es ja numerisch gelöst werden.

25.03.2014, 23:30

Fazer

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Mit der Trapezformel (Streifenbreite b=0,1) habe ich eine relativ gute Näherung erzielt: A=0,7048
Mit Excel ist das auch sehr schnell gemacht.

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