Laplace Verschiebungssatz

24.03.2014, 00:32	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace Verschiebungssatz Hi, habe ein paar Fragen zum Verschiebungssatz die im Laufe des Textes auftauchen. Ich hoffe ihr könnt mir helfen diese Fragen zu beantworten Beschreibung: Die Orginalfunktion f(t) mit f(t)=0 für t<0 wird zunächst um die Strecke a nach rechts verschoben (a>0). Der Verschiebung der Kurve f(t) entspricht die Variablensubstitution t-->t-a. Wir bestimmen nun die Laplace-Transformierte der verschobenen Funktion g(t)=f(t-a) mit g(t)=0 für t<a. f(t) Orginalfunktion g(t)=f(t-a) Nach rechts verschobene Funktion $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty } \! f(t-a)e^{-st} \, dt \end{eqnarray}$ Dieses Integral wird durch Substitution gelöst: $\begin{eqnarray} u=t-a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=u+a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dt=du \end{eqnarray}$ wobei sich die Integrationsgrenzen ändern: Untere Grenze $\begin{eqnarray} -a \end{eqnarray}$ Obere Grenze $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{-a}^{\infty } \! f(u)e^{-s(u+a)} \, du=e^{-as}\int_{-a}^{\infty } \! f(u)e^{-su} \, du \end{eqnarray}$ Bis hier habe ich alles verstanden aber die nächsten Schritte verstehe ich nicht* $\begin{eqnarray} =e^{-as}\left[ \int_{-a}^{0 } \! f(u)e^{-su} \, du+ \int_{0}^{\infty } \! f(u)e^{-su} \, du\right] \end{eqnarray}$ Wobei wahrscheinlich diese Regel benutzt worden ist ? $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(x) \, dx=\int_a^c \! f(x) \, dx +\int_c^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ Aber warum teilt man das Integral ? $\begin{eqnarray} \int_{-a}^{0 } \! f(u)e^{-su} \, du=0 \end{eqnarray}$ Warum ergibt das Null ? Was ist f(0)=? Was ist f(-a)=?
24.03.2014, 14:21	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier nochmal die Frage in Kurzform: f(t) Orginalfunktion g(t)=f(t-a) Nach rechts verschobene Funktion a>0 $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty } \! f(t-a)e^{-st} \, dt \end{eqnarray}$ Dieses Integral wird durch Substitution gelöst: $\begin{eqnarray} u=t-a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=u+a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dt=du \end{eqnarray}$ wobei sich die Integrationsgrenzen ändern: Untere Grenze $\begin{eqnarray} -a \end{eqnarray}$ Obere Grenze $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{-a}^{\infty } \! f(u)e^{-s(u+a)} \, du=e^{-as}\int_{-a}^{\infty } \! f(u)e^{-su} \, du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{-a}^{0 } \! f(u)e^{-su} \, du=0 \end{eqnarray}$ Warum ergibt das Null ? Was ist f(0)=? Was ist f(-a)=?
24.03.2014, 14:35	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
f(u) ist 0 für u zwischen -a und 0, denn f(t) wurde ja um a nach rechts verschoben. Daher ist das Integral Null. f(-a) entspricht für f(u) gerade dem Fall f(t= 0) d.h. f(u=-a) = 0. (Bedenke, dass f nach rechts verschoben worden ist). f(0) ist nicht näher definiert, spielt aber für das Integral keine Rolle.
24.03.2014, 15:02	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank

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