Definition eines kompakten Operators |
| 24.03.2014, 07:24 | Tobi2030 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Definition eines kompakten Operators ich habe eine Aufgabe [attach]33701[/attach] von meinem Prof. bekommen und soll diese bearbeiten. Allerdings habe ich das Problem, dass mir kein Ansatz einfällt wie ich an die Aufgabe rangehen soll geschweige den wie ich diese Löse soll. Ich wäre um jede Hilfe momentan dankbar. Vielen Dank im voraus! Gruß Tobi |
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| 25.03.2014, 10:28 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Deine Abbildung wird durch eine Matrix mit unendlich vielen Zeilen/Spalten vermittelt. Die Dimension des Original- und Bildraumes ist also unendlich. Ein kompakter Operator K ist dadurch definiert, dass er beliebig gut durch einen entarteten Operator K' angenähert werden kann. (Ein entarteter Operator bildet stets in einen endlichdimensionalen Bildraum ab.) Es existiert also für ein beliebig kleines stets ein entarteter Operator K' derart, dass Es muss also gelten, dass man deine Matrix mit den unendlich vielen Zeilen/Spalten durch eine Matrix mit endlich vielen Zeilen/Spalten beliebig gut annähern kann. Das ist nur möglich, wenn die Norm deiner Matrix K endlich ist. |
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| 25.03.2014, 13:24 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist keineswegs die Definition eines kompakten Operators...
Den Begriff "entarteter Operator" hatte ich so noch nie gehört. Benutzt du ihn äquivalent zu "endlichdimensionaler Operator"?
Und was ist dabei ? Naja, da die Approximationseigenschaft besitzt, ist die Kompaktheit von übrigens tatsächlich äquivalent dazu, dass durch endlichdimensionale Operatoren approximiert werden kann. |
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| 25.03.2014, 13:56 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Che Netzer Zum Begriff "entarteter" Operator: Gemeint ist ein Operator, der in einen endlichdimensionalen Unterraum abbildet. Unser Dozent hat einen solchen Operator damals als "ausgeartetet" bezeichnet (also nicht "entartet", da hast du recht). Ich habe gerade in meinen 30 Jahre alten Mitschriften nachgeschaut. Zu meiner Argumentation: Gib mal bei WIKIPEDIA den Suchbegriff "Kompakter Operator" ein. Dort findest du unter der Teilüberschrift "Approximation durch Operatoren mit endlichdimensionalem Bild" den Satz, den ich meine. |
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| 30.03.2014, 17:31 | Tobi2030 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Erst einmal vielen Dank! Leider ist mir immer noch nicht ganz klar, wie ich die Aufgabe angehen muss. Was sind die ersten Schritte? Vielleicht würde mir das schon weiter helfen. Ich komme sonst echt nicht weiter! Danke schon mal im Voraus. |
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