Matrizen und Unterräume

24.03.2014, 12:21

u44tmp

Matrizen und Unterräume

Hi! Ich sitze gerade an einer Klausurvorbereitung und komme bei einigen Sachen nicht weiter. Vllt kann mir jemand helfen. Hätte da ein paar Aufgaben.

1)
Ich habe folgende Matrix gegeben:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & |1 \\ 0 & 2 & -1 & |-1\\ 2 & 4 & \alpha & |0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich soll dazu sagen, a) für welche alpha die Matrix invertierbar ist und b) für jedes alpha den Lösungsraum bestimmen.

2)
Es sind zwei Unterräume gegeben:
(SR = Spaltenraum)
U = SR $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und
V = $\begin{eqnarray*} \left\{ x \in \mathbb R³: x_{2}+ x_{3}=11x_{2} \right\} \end{eqnarray*}$
Dazu soll nun eine Basis von $\begin{eqnarray*} U \cap V \end{eqnarray*}$ angegeben werden.

3)
Gegeben:
$\begin{eqnarray*} B_{1} \in \mathbb R³,B_{2}\in \mathbb R²,sowie f \in Hom(\mathbb R³,\mathbb R²) mit<br /> B_{1}=\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\} <br /> B_{2}=\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} und \left[M\right]_{B_{1} }^{B_{2} } = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} (eckige Klammern um das M gehoeren nicht dazu) \end{eqnarray*}$

ich soll nun a) $\begin{eqnarray*} die Isomorphismen \oplus B_{1} und \oplus B_{2} , also L^{-1}(\oplus B_{1}) und L^{-1}(\oplus B_{2}) \end{eqnarray*}$ bestimmen, sowie b) eine Matrix A mit f(x) = Ax fuer alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R³ \end{eqnarray*}$

Meine Ansätze:

zu 1) Nach Umformung mit GAUSS folgt bei mir:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & |1 \\ 0 & 2 & -1 & |-1 \\ 0 & 0 & \alpha -2 & |0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ womit die Matrix nicht für "2" invertierbar ist. Die Lösungsmenge hier wäre:

Lösungsraum = $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1-2x_{3} \\ -1+x_{3} \\ x_3 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

wie verfahre ich weiter?

zu 2)
Die Basis des Unterraums von V wäre ja:

(1 -11 1)
-> Lösungsraum = $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 11x_2-x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ also span $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 11 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Muss ich bei V nun einfach die Vektoren als Matrix schreiben, oder soll ich die Vektoren erstmal kippen? und wie geht es dann weiter?

zu 3 habe ich keine Ansätze unglücklich

24.03.2014, 13:34

u44tmp

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RE: Matrizen und Unterräume
übrigens: das " $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ soll ein "phi" sein

24.03.2014, 13:48

bijektion

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1) Hier hast du aber ein LGS angegeben. Schöner wäre es die Matrix noch einmal explizit herraus zu schreiben, den Umstand nutzend, dass sie dann invertierbar ist, wenn die Determinante nicht null ist.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1-2x_{3} \\ -1+x_{3} \\ x_3 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Wenn deine Umformungen bis hierher stimmen, ist die Lösung falsch.

2) Bei V solltest du nochmal genau auf die Definition schauen. Da hat sich entweder ein Indexfehler eingeschlichen, oder du hast was falsch.

3) So wie es aussieht sollen $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ Basen von Vektorräumen sein? Ich schätze mit $\begin{eqnarray*} [M]^{B_2}_{B_1} \end{eqnarray*}$ meinst du die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray*} f \in Hom(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^2) \end{eqnarray*}$ ?
a) Schreib die Aufgabenstellung bitte einmal schön auf. Ein $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ erzeugt man mit \phi und ein $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ mit \Phi.
b) Wieder die Frage ob $\begin{eqnarray*} [M]^{B_2}_{B_1} \end{eqnarray*}$ die Darstellungsmatrix zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist.

24.03.2014, 14:08

u44tmp

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zu 1) ist die Lösungsmenge falsch? Ist das nicht die Lösungsmenge für den Fall, dass alpha = 2 ist und damit eine Nullzeile entsteht?

zu 2) ups... das muss natürlich $\begin{eqnarray*} \left\{ x_{1} + x_{3}= 11x_{2} \right\} \end{eqnarray*}$ lauten.

zu 3) Die Definition ist ja gegeben.

a) Bestimme die darstellenden Matrizen der Isomorphismen $\begin{eqnarray*} \Phi B_{1}, \Phi B_{2}, \end{eqnarray*}$ ,also
$\begin{eqnarray*} L^{-1}(\Phi B_{1}) und L^{-1}(\Phi B_{1}) \end{eqnarray*}$

bei [M] müssen die eckigen Klammern weg (konnte das nicht anders darstellen) - ja das müsste die darstellende Matrix sein bezüglich dem Homomorphismus.

24.03.2014, 14:12

bijektion

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1) Selbst dann fehlt mindestens in der zweiten Zeile ein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
2) Dann sollte es soweit stimmen. Jetzt noch der Schnitt.
3) Was ist denn $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ?

24.03.2014, 15:24

u44tmp

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RE: Matrizen und Unterräume
1) Wieso ein 1/2 ? Muss ich das in normierte Zeilenstufenform bringen?

2) hmmm... also mit dem Spaltenraum nichts anstellen sondern einfach übernehmen, wie es da steht? wie stell ich das nun mit dem Schnitt genau an?

3) Keine Ahnung. Da steht so in der Aufgabenstellung. Mehr informationen dazu gibt es nicht. Kann das die Inverse sein zu der Basis?

24.03.2014, 19:21

bijektion

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1) Es ist doch $\begin{eqnarray*} 2 \cdot x_2 =-1+x_3 \end{eqnarray*}$ .

2) Der Spaltenraum sollte der UVR sein, der von den Spalten aufgespannt wird. Überprüfe erstmal, wie die Vektoren aussehen, die im Schnitt liegen.
Die Dimension kannst du ja vorher schnell berechnen über $\begin{eqnarray*} dim(U_1 +U_2)=dim(U_1)+dim(U_2)-dim(U_1 \cap U_2) \end{eqnarray*}$ .

3) Der b)-Teil sollte ja leicht fallen. Bei a) weiß ich ehrlich gesagt noch nicht wirklich was zu tun ist, diese Bezeichnungen sagen mir gar nichts.

25.03.2014, 13:42

u44tmp

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ok 1) und 2) habe ich soweit nun verstanden.

Bleibt nur noch 3)
Für a) müsste es ja eine Lösung geben. Denke damit ist im Prinzip S T(f) S^(-1) gemeint?

b) verstehe ich leider nicht was gemeint ist unglücklich

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