Doppelpost! doppelter Flächeninhalt des Einheitskreises einbeschriebenes n-Eck

24.03.2014, 13:41

Stratege1993

doppelter Flächeninhalt des Einheitskreises einbeschriebenes n-Eck

Meine Frage:
Es sei durch f:[0,pi]^n->R, (a1,...,an)->f(a1,...,an) der doppelte Flächeninhalt des dem Einheitskreis einbeschriebenen n-Eck mit den Winkeln a1,...,an gegeben.

Bestimmen Sie eine Funktionsvorschrift für f. Wie lautet die Nebenbedingung für die Winkel a1,...,an?

Meine Ideen:
ich weiß wie man die fläche eines gleichmäßigen n-ecks berechnet, aber in diesem fall weiß ich nicht weiter

24.03.2014, 13:47

HAL 9000

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Tipp: Dieses $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Eck setzt sich zusammen aus $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gleichschenkligen, i.a. aber nicht kongruenten Dreiecken, die alle die Schenkellänge $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ haben und an den Spitzen zusammentreffen - und zwar im Mittelpunkt des Kreises. Es kommt nun darauf an, die Winkel in diesen Dreiecken aus den gegebenen $\begin{eqnarray*} \alpha_1,\ldots,\alpha_n \end{eqnarray*}$ zu ermitteln...

24.03.2014, 13:52

Stratege1993

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Soweit ist es mir auch klar gewesen.
Wir sollen aber eine allgemeingültige Formel austellen für ein beliebige a und n.

Ich weiß weiß aber nicht wo die winkel liegen sollen

24.03.2014, 13:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stratege1993
Wir sollen aber eine allgemeingültige Formel austellen für ein beliebige a und n.

Das "aber" ist fehl am Platze, denn genau darauf bin ich ja eingegangen mit dem "i.a. aber nicht kongruenten Dreiecken".

Ich finde diese Anmerkungen a la "so schlau war ich auch" übrigens ziemlich bescheuert: Nix anbringen an eigenen Ideen, aber dann altklug daherkommen. unglücklich

24.03.2014, 13:56

Stratege1993

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Es sollte jetzt nicht so rüberkommen; ENTSCHULDIGE!!!

aber ich komm irgendwie nicht weiter und bin etwas genervt

24.03.2014, 14:13

HAL 9000

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Kann es sein, dass noch eine Voraussetzung fehlt: $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade ???

Ansonsten betrachte man nämlich mal den Fall $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ und die Menge aller einbeschriebenen Rechtecke: Die haben jeweils vier Innenwinkel zu je 90°, aber durchaus verschiedene Flächeninhalte und damit kein eindeutig definierte Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Oder sind bei dir am Ende die $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ gar nicht die Innenwinkel? verwirrt

24.03.2014, 14:17

Stratege1993

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doch a stellen schon die innenwinkel dar, aber sonst war über n keine aussage gegeben(ob gerade oder ungerade)
Der Flächeninhalt ist ja noch vergleichsweiße einfach zu berechnen, aber ich weiß auch nicht was mit der nebenbedingung gemeint ist

24.03.2014, 14:19

HAL 9000

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Und zu der Anmerkung mit den Rechtecken hast du nichts zu sagen?

Zitat:

Original von Stratege1993
Der Flächeninhalt ist ja noch vergleichsweiße einfach zu berechnen

Na dann mal los, da bin ich aber gespannt.

24.03.2014, 14:22

Stratege1993

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man muss ja nur die flächinhalte der entstehenden dreicke berechnen und addieren

24.03.2014, 14:26

HAL 9000

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Ich wollte eigentlich die Funktionsvorschrift haben, von der du behauptest, dass die "vergleichsweise einfach" ermittelbar ist - wo ist sie? Augenzwinkern

Meine Meinung ist, dass sie im Fall "n gerade" überhaupt nicht angebbar ist, weil es für ein- und dieselben n Innenwinkel verschiedene, inkongruente n-Ecke gibt, mit verschiedenen Flächeinhalten. Ist wahrscheinlich nocht nicht so richtig angekommen bei dir, diese Botschaft.

24.03.2014, 14:28

Stratege1993

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ok deine argumentation versteh ich ja noch bei n gerade.

aber wie würdest du bei n ungerade vorgehen?

24.03.2014, 14:40

HAL 9000

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Sei $\begin{eqnarray*} \varphi_i=|\angle A_iMA_{i+1}| \end{eqnarray*}$ der Spitzenwinkel im Teildreieck $\begin{eqnarray*} A_iA_{i+1}M \end{eqnarray*}$ (d.h. der am Kreismittelpunkt), dann haben wir die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Eck-Fläche

$\begin{eqnarray*} F = \frac{r^2}{2} \sum_{i=1}^n \sin(\varphi_i) \end{eqnarray*}$

Offenbar gilt dann für $\begin{eqnarray*} \alpha_i=|\angle A_{i-1}A_iA_{i+1}| \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \alpha_i = 90^{\circ} - \frac{\varphi_{i-1}}{2} + 90^{\circ} - \frac{\varphi_{i}}{2} = 180^{\circ} - \frac{\varphi_{i-1}+\varphi_{i}}{2} \end{eqnarray*}$

Wir haben nun die $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ gegeben, die im übrigen die Bedingungen $\begin{eqnarray*} 0 < \alpha_i < 180^{\circ} \end{eqnarray*}$ sowie Innenwinkelsumme $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \alpha_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} \end{eqnarray*}$ erfüllen müssen, und wollen daraus die $\begin{eqnarray*} \varphi_i \end{eqnarray*}$ ermitteln - ein nettes kleines Gleichungssystem.

Im Fall "n ungerade" ist das auch tatsächlich eindeutig lösbar, während es im Fall "n gerade" nicht so ist. In letzterem Fall kommen auch noch weitere Bedingungen hinzu, es wird dann unübersichtlicher ... daher ja meine Frage, ob es nicht die Zusatzvoraussetzung "n ungerade" gibt.

EDIT: Ich denke, das waren jetzt erst mal genug Informationen, über die du nachdenken kannst. Und du solltest in Zukunft nicht mehr so lügen wie mit diesem "Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt." hier auf

http://matheforum.net/read?t=1014836 ,

das war immerhin eine Viertelstunde nach meiner zweiten Antwort hier im Thread.

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