Wahrscheinlichkeit/Erwartungswert

24.03.2014, 15:44

Bonheur

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Wahrscheinlichkeit/Erwartungswert

Im Folgenden wird mit einem Würfel geworfen, der das rechts abgebildete Netz mit den Ziffern 1, 2 und 6 bestitz.
a) Der Würfel wird dreimal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

A: "Die Sechs fällt genau zweimal"
B: "Die Sechs fällt höchstens einmal"
C: "Die Sechs fällt mindestens einmal"

$\begin{eqnarray*} D=\overline{A} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E= B \cap C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F= A \cup B \end{eqnarray*}$

b)
Moritz darf den Würfel für einen Einsatz von 1 Euro zweimal werfen. Er hat gewonnen, wenn die Augensumme 3 beträgt oder wenn zwei Sechsen fallen. Er erhält dann 3 Euro Auszahlung. Ist das Spiel für Moritz günstig ?
c) Heino darf für einen Einsatz von 6 Euro dreimal würfeln. Bei jeder Zwei, die dabei fällt, erhält er eine Sofortauszahlung von a Euro. Für welchen Wert von a ist dieses Spiel fair?

[attach]33714[/attach]

Idee:
Erstmal zu a)

A: 2/6 * 2/6
B: 2/6

C: $\begin{eqnarray*} \left(\frac{2}{6}\right)^{n} \end{eqnarray*}$

Leider kenne ich die Zeichnen nicht von D, E und F. unglücklich

unglücklich

Vielen Dank

24.03.2014, 21:00

Mathe-Maus

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RE: Wahrscheinlichkeit/Erwartungswert
Beginnen wir nochmal bei a)

1) Baumdiagramm hilft ... oder
2) Aufschreiben der Ergebnisse

Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ist 1/3.
Die Wahrscheinlichkeit für keine 6 ist 2/3.

Dreimal werfen und 2x eine 6:
(N bedeutet NichtSechs.)

66N
6N6
N66

Jetzt die Einzelwahrscheinlichkeiten je Pfad multiplizieren.

24.03.2014, 21:05

Bonheur

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Ich versuche es mal:

Die Wahrscheinlichkeit eine sechs zu kriegen, beträgt 1/3.

$\begin{eqnarray*} P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}=2 \cdot \frac{1}{3}=0,6667 \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die sechs genau zweimal fällt, beträgt 66,7 %.

so hier ?

24.03.2014, 21:13

Mathe-Maus

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Bedenke, Du bewegst Dich anhand eines Pfades ! Multiplikation entlag eines Pfades!

Ich zeige Dir mal einen Pfad für 3x würfeln:

66N ... 1/3 * 1/3 * 2/3 = 2/27

Jetzt die anderen Pfade:

6N6 .....
N66 ....

Zeichne Dir am besten ein Baumdiagramm dazu !

24.03.2014, 21:19

Bonheur

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Dann müsste es so aussehen:

$\begin{eqnarray*} P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}=3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}\right)^{3} \end{eqnarray*}$

so ? verwirrt

verwirrt

24.03.2014, 21:28

Mathe-Maus

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Wie wäre es, wenn Du einfach mal meinem Vorschlag folgst ?

A: "Die Sechs fällt genau zweimal"

Baumdiagramm gezeichnet ?

Wahrscheinlichkeit für den 1. Pfad: 2/27

Wahrscheinlichkeit für den 2. Pfad: ... ?
Wahrscheinlichkeit für den 3. Pfad: ... ?

-----------------------
Regeln:
1) Entlang des Pfades wird multipliziert.
2) Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade werden addiert.

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24.03.2014, 21:33

Bonheur

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Zitat:

Original von Mathe-Maus
Wie wäre es, wenn Du einfach mal meinem Vorschlag folgst ?
Regeln:
1) Entlang des Pfades wird multipliziert.
2) Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade werden addiert.

Mach ich doch die ganze Zeit. Big Laugh

Big Laugh

Und ein Baumdiagramm habe ich schon zu Beginn gezeichnet.

$\begin{eqnarray*} P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}=3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{2} \cdot \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss es aber stimmen, sonst weiß ich auch nicht weiter. unglücklich

unglücklich

24.03.2014, 21:42

Mathe-Maus

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JA, jetzt sieht es besser aus.
Nun noch P(E) berechnen.

---------------------
Jetzt zu: B: "Die Sechs fällt höchstens einmal"

Schreib mal die Pfade auf.

Ich fange mal an:
1) 6NN
2) ...
3) ...
4) ...

24.03.2014, 21:47

Bonheur

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1) 6NN
2) N6N
3) NN6
4) NNN

$\begin{eqnarray*} P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}=3 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right)+\left(\frac{2}{3}\right)^{3} \end{eqnarray*}$

so?

24.03.2014, 21:52

Mathe-Maus

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Korrekt.

--------------------
C: "Die Sechs fällt mindestens einmal"

Hier würde ich mit der Gegenwahrscheinlichkeit arbeiten ...
Was ist Deine Idee ?

-------------------
(Übrigens, das |E|/|Omega| kannst Du weglassen.)

24.03.2014, 22:01

Bonheur

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Ich habe zwei Ideen:

Entweder rechne ich das mühsam aus.
1) 666
2) 66N
3) 6NN
4) 6N6
5) N6N
6) N66
7) NN6

Oder ich versuche irgendwie eine Gleichung aufzustellen, welches mir die Lösung angibt: verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \left( 1-\frac{1}{3} \right)^{n} \end{eqnarray*}$

24.03.2014, 22:15

Mathe-Maus

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Pfade aufschreiben ...Wenn Du diese Lösung wählst, so gehe systematisch vor.

666

66N
6N6
N66

6NN
N6N
NN6

Einfacher: Gegenwahrscheinlichkiet -> KEINE 6 -> P(Nicht E)

NNN

$\begin{eqnarray*} P(E) + P(Nicht E) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(E) = 1 - P(Nicht E) \end{eqnarray*}$

-------------
P(E) ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der ganz oben aufgeschriebenen Pfade.
P(Nicht E) ist die Wahrscheinlichkeit, dass KEINE 6 fällt.

24.03.2014, 22:22

Bonheur

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Leider kann ich die Gleichung nicht nachvollziehen. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Mathe-Maus
$\begin{eqnarray*} P(E) + P(Nicht E) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(E) = 1 - P(Nicht E) \end{eqnarray*}$

Ich würde die Gleichung verstehen, wenn P(E) beschreibt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine sechs zu bekommen.
Wenn das zutrifft, verstehe ich wiederum nicht, wie man mit dieser Gleichung auf das Resultat kommt.

24.03.2014, 22:30

Mathe-Maus

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Zum Verständnis:
1) Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ALLER Pfade (in Deinem Baumdiagramm) ergeben 1.

2) Die Wahrscheinlichkeiten von

666

66N
6N6
N66

6NN
N6N
NN6

PLUS

NNN

ergibt 1.

Frage dazu ?

24.03.2014, 22:35

Bonheur

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Jetzt kann ich die Gleichung nachvollziehen. Vielen Dank, was neues dazu gelernt.

Dann müsste die Gleichung, so aussehen oder?

$\begin{eqnarray*} P(E) = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{3} \end{eqnarray*}$

24.03.2014, 22:39

Mathe-Maus

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Super.

Tanzen

---------------------------------------

b)
Moritz darf den Würfel für einen Einsatz von 1 Euro zweimal werfen. Er hat gewonnen, wenn die Augensumme 3 beträgt oder wenn zwei Sechsen fallen. Er erhält dann 3 Euro Auszahlung. Ist das Spiel für Moritz günstig ?

Kennst Du die Formel vom Erwartungswert ? (Es reicht ein ja oder nein.)

24.03.2014, 22:42

Bonheur

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Nein. Ich kenne die Formel nicht. unglücklich

unglücklich

Ich wusste gar nicht, dass es eine bestimmte Formel gibt.

Ich hatte immer das Geld mit den Wahrscheinlichkeiten multipliziert, aber nie gewusst, warum das nötig ist. Big Laugh

Big Laugh

24.03.2014, 22:50

Mathe-Maus

Auf diesen Beitrag antworten »

Prima ! Du hast die Formel für den Erwartungswert doch bereits genutzt !

Formelsammlung -> Erwartungswert ... da findest Du diese. (Diskrete Verteilungen.)

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum\limits_{i=1}^n x_{i} * p_{i} \end{eqnarray*}$

----------------
Während Du jetzt diese Formel suchst, schreibe ich Dir eine kleine Hilfe zur Lösung ...

24.03.2014, 22:59

Mathe-Maus

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x = Gewinnsumme = (Gewinn - Einsatz)
p = Wahrscheinlichkeit

---------------
Gewinn, wenn 12, 21 oder 66.

Pfade:
21 ........... p= ... ?
12 ........... p= ... ?
66 ........... p= ... ?

3 unterschiedliche Pfade, also die Wahrscheinlichkeiten addieren.
p_(G) = ...?

Gewinnwert = Gewinn - Einsatz = x
x = 3 EUR - 1 EUR
x = 2 EUR

Kommst Du bis dahin mit ?

24.03.2014, 23:06

Bonheur

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Formel für den Erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} E(X)=x_1 \cdot P(X= X_1)+x_2 \cdot P(X=X_2)+...+X_n \cdot P(X=X_n) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mathe-Maus
Pfade:
21 ........... p= ... ?
12 ........... p= ... ?
66 ........... p= ... ?

Muss man hier die Gewinne mit dem Einsatz subtrahieren ?

21 - Einsatz p= 21 * Wahrscheinlichkeit

12 - Einsatz p= 12 * Wahrscheinlichkeit

66 - Einsatz p= 66 * Wahrscheinlichkeit

Habe ich das richtig verstanden ?

24.03.2014, 23:24

Mathe-Maus

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Ich glaube, wir haben uns etwas mißverstanden.

Gewinn, wenn die Augensumme 3 beträgt oder wenn zwei Sechsen fallen.

Pfade:

21 ....... p= 1/6 *1/2 = 1/12
12 ....... p= 1/6 *1/2 = 1/12
66 ....... p= 1/3 *1/3 = 1/9

P_G = 1/12 + 1/12 + 1/9 = 30/108 = 15/54

Die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen beträgt p=15/54.
Die Gewinnsumme = Gewinn - Einsatz = 3 EUR - 1 EUR = 2 EUR = x

p_1 = 15/54
x_1 = 2 EUR

Nichtgewinnen:
p_N = 39/54
Gewinnsumme = Gewinn - Einsatz = 0 EUR - 1 EUR = -1 EUR

p_2 = 39/54
x_2 = - 1 EUR

$\begin{eqnarray*} E(x) = p_{1} * x_{1} + p_{2} * x_{2} \end{eqnarray*}$

24.03.2014, 23:27

Bonheur

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@Mathe-Maus

Könnten wir vielleicht morgen weitermachen ? smile

smile

Erlaubst du mir für heute Schluss zu machen ? Big Laugh

Big Laugh

Habe morgen Schule. ^^^

24.03.2014, 23:31

Mathe-Maus

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Sehe ich auch so.

Zum Vergleich: E(x) = -1/6 EUR

--------------
Vielleicht stellt Du die letzte Aufgabe morgen nochmal neu ein, dann schauen mehr Helfer drauf.

Wink

Wink

Wink

Wink

24.03.2014, 23:32

Bonheur

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Ok

smile

Vielen Dank für alles.

Gute Nacht

Wink

Wink

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