Irreduzibilität von Polynomen über Z und R Aufgabe rechnen

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Duude Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibilität von Polynomen über Z und R Aufgabe rechnen
Hallo zusammen,
ich löse gerade eine Aufgabe, bei der ich verschiedene Polynome auf Reduzibilität/Irreduzibilität untersuche über verschiedenen Ringen. Die allermeisten habe ich hinbekommen, bei einer bin ich mir aber unsicher und bei zwei habe ich noch Probleme, die Lösung zu finden.. Deshalb poste ich diese hier:

1) Betrachte über .

Ich bin der Meinung, das Polynom ist irreduzibel, denn über b ist es irreduzibel (da weder 0 noch 1 Nullstelle sind) und das Polynom vom Grad 3 ist. Mit dem Reduktionskriterium müsste daraus folgen, dass f auch über irreduzibel ist. Richtig?

2) Betrachte dasselbe Polynom f über .
Dies ist ein Polynom vom Grad 3, wenn es reduzibel ist, muss es also in einen Faktor vom Grad 2 und einen vom Grad 1 zerfallen, also eine Nullstelle haben. Da wir kein Polynom vom Grad 2 haben, können wir die Mitternachtsformel nicht anwenden.. Ich habe mir aber überlegt, dass man den Faktor vom Grad 1 wie folgt einschränken kann: (x+1), (x-1), (x+5) und (x-5) sind die einzigen Möglichkeiten, denn der erste Faktor muss 1x sein (sonst ginge es bei der Polynomdivision sicher nicht auf) und der letzte muss 5 teilen.
Wenn ich die Polynomdivision jeweils durchführe, erhalte ich aber immer einen Rest. Hätte also geschlossen, dass das Polynom irreduzibel ist.

Die Lösung sagt aber, dass das Polynom müsste reduzibel sei.. Wo ist mein Fehler?


3) Betrachte das Polynom über .

Ich habe hier das Kriterium von Eisenstein verwendet, um zu zeigen, dass das Polynom irreduzibel ist. Sei p=3. ist ein Integritätsring, da die reellen Zahlen ja ein Körper sind, also insbesondere ein Integritätsring. Ein Polynomring ist ein Integritätsring, wenn die Koeffizienten aus einem Integritätsring stammen. Also ist auch Integritätsring. g ist primitiv, da es sogar normiert ist. Ich darf also das Kriterium von Eisenstein anwenden.
Es gilt p|6, p|-6, p|3 sowie p² teilt nicht 3 und p teilt nicht 1. Also müsste das Polynom doch irreduzibel sein in .

Die Lösung sagt aber es sei reduzibel... Wo habe ich mich denn hier getäuscht?

Freue mich über Anmerkungen und Hilfe.
lg Duude
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduzibilität von Polynomen über Z und R Aufgabe rechnen
Hallo,

1) Müsste so passen. Geht, da Grad=3 ist. Alternativ: checke alle 4 möglichen Nullstellen durch.

Zu 2) und 3): Es ist (aus Analysis 1) bekannt, dass Polynome ungeraden Grades immer eine Nullstelle in den reellen Zahlen haben (folgt aus dem Zwischenwertsatz). Deine Argumentation in 2) geht nicht, weil 5 in den reellen Zahlen unendlich viele Teiler hat. Zu 3): das Eistensteinkriterium bezieht sich auf Polynome in Quotientenkörpern (in deinem Fall dem Quotientenkörper von Z). Die reellen Zahlen sind aber nicht dieser Quotientenkörper.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduzibilität von Polynomen über Z und R Aufgabe rechnen
Louis ist mir zuvorgekommen, aber ich schiebe nochmal schnell den Hinweis hinterher, dass über IR sogar jedes Polynom vom Grad größergleich 3 reduzibel ist.
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
checke alle 4 möglichen Nullstellen durch.

Welche vier Nullstellen meinst du? Meinst du gerade die Argumentation, die ich bei 2) verwendet habe? Denn über Z hat das Polynom ja wirklich nur 4 Teiler und nicht unendlich, also könnte ich da jeweils Polynomdivision mit (x+1), (x-1), (x+5) und (x-5) durchführen und schauen, ob sich ein Rest ergibt.. (wobei ich dann in dem Fall immer einen Rest erhalte)

Zitat:
Es ist (aus Analysis 1) bekannt, dass Polynome ungeraden Grades immer eine Nullstelle in den reellen Zahlen haben


Ja, ich erinnere mich smile komplexe Nullstellen tauchen ja auch immer paarweise auf und die "übrige" Nullstelle für den ungeraden Grad liegt dann in R oder mit dem Zwischenwertsatz und der Vollständigkeit von R (dass unsere Funktion die x-Achse nicht gerade an einer Stelle schneidet, die nicht zu R gehört). Damit ist klar, dass bei 2) und 3) reduzibel herauskommen muss..

Zitat:
Zu 3): das Eistensteinkriterium bezieht sich auf Polynome in Quotientenkörpern (in deinem Fall dem Quotientenkörper von Z). Die reellen Zahlen sind aber nicht dieser Quotientenkörper.

Das ist mir noch nicht klar...
Also der Quotientenkörper von Z ist Q. Heißt das, mit dem Kriterium kann ich nur die Irreduzibilität in Q überprüfen, weil die Koeffizienten in Z sind? (Ich habe also in meinem ersten Post gezeigt irreduzibel in Q)

Wir hatten den Satz wie folgt im Skript.. Wo steht denn da etwas von einem Quotientenkörper? Oder müsste es ganz hinten R(X) heißen, statt R[X]?

[attach]33717[/attach]

Und heißt das letztlich, dass ich mit dem Eisensteinkriterium gar nicht die Irreduzibilität über R prüfen kann (oder ist R Quotientenkörper von irgendwas?), sondern nur die Irreduzibilität über Q?


Zitat:
dass über IR sogar jedes Polynom vom Grad größergleich 3 reduzibel ist.

Also ich weiß, dass über jedes Polynom vom Grad größergleich 2 reduzibel ist nach dem Hauptsatz der Algebra. Deine Aussage höre ich aber gerade zum ersten Mal.

Also alle Polynome vom Grad größergleich 3 mit ungeradem Grad sind klar, nach dem Zwischenwertsatz. Also geht es nur noch um die mit geradem Grad. Dort habe ich je paarweise auftretende Nullstellen z und .
Ich habe nun versucht, die Aussage zu zeigen, indem ich die komplexen Nullstellen genommen habe, und versucht, diese in zwei Faktoren zu zerlegen:
.
das vorletzte gleich gilt, da y über den reellen Zahlen gleich 0 ist. Das Ergebnis hätte ich aber auch gleich oben ablesen können, wenn ich y=0 setze (sehe ich gerade ^^)
Also bring mich das nicht weiter..
Ist es dann so, dass ich jeweils die zwei komplex konjugierten Nullstellen zu einem Faktor zusammenfassen kann und das Polynom vom Grad 4 oder größer mit geradem Grad deshalb reduzibel in R ist?
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem mit dem Eisensteinkriterium bei dir ist, dass es in Körpern keine Primelemente gibt (außer 0). Das heißt die Version, die du da hast, ist a priori für Körper erstmal nutzlos.

Wenn man aber noch fordert, dass der Ring R faktoriell ist, dann kann man zeigen, dass so ein Polynom sogar schon über Quot(R) (dem Quotientenkörper von R) irreduzibel ist.

Ich gehe übrigens davon aus, dass der einzige Integritätsbereich, dessen Quotientenkörper die reellen Zahlen sind, die reellen Zahlen selbst sind. Ob das stimmt, weiß ich nicht. Kann man aber sicher googeln/sich überlegen, ist hier an der Stelle aber wohl auch nicht weiter interessant.

Edit: okay, habe gerade doch gegoogelt und festgestellt, dass man sehr einfach einsehen kann, dass jeder Körper mit Charakteristik 0 der Quotientenkörper eines Rings ist, der selbst kein Körper ist. Also Annahme im letzten Absatz ist falsch, spielt für dich aber vermutlich keine Rollen. Augenzwinkern
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duude
Ist es dann so, dass ich jeweils die zwei komplex konjugierten Nullstellen zu einem Faktor zusammenfassen kann und das Polynom vom Grad 4 oder größer mit geradem Grad deshalb reduzibel in R ist?

Ja. Hat eine Nullstelle , so ist auch eine Nullstelle und man kann durch dividieren. Da hat man also einen nichtkonstanten reellwertigenTeiler gefunden. Folglich ist reduzibel. Diese Argumentation funktioniert natürlich auch bei Polynomen ungeraden Grades, aber dort kann man wie oben schon angesprochen auch mit dem Zwischenwertsatz argumentieren.
 
 
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich kämpfe immer noch mit dem Eisensteinkriterium...

Ich glaube nämlich dass der Satz aus dem Skript, den ich oben gepostet habe, einen Fehler enthält. Müsste da ganz unten nicht stehen: Dann ist f irreduzibel im Polynomring des Quotientenkörpers von R anstatt "im Polynomring von R"??

Das Eisensteinkriterium in der Formulierung von oben kann ich anwenden, um für Polynome mit Koeffizienten aus Z Irreduzibilität über Q zu zeigen, da Z kein Körper ist und deshalb Primelemente ungleich 0 enthält.

Aber die Irreduzibilität über dem Quotientenkörper von R (was auch immer der Quotientenkörper von R ist) kann ich nicht zeigen, da es in R keine Primelemente (außer 0 gibt)
Ich könnte das Eisensteinkriterium auch verwenden, um zu zeigen, dass ein Polynom über R irreduzibel ist, dazu müssten die Faktoren aus dem Ring stammen, dessen Quotientenkörper R ist. (wobei ich wieder nicht weiß, wie dieser Ring aussieht?).
An sich ist das aber auch überflüssig, da ich über R sowieso weiß, dass alle Polynome vom Grad größergleich 3 reduzibel sind, die vom Grad 1 sind irreduzibel, weil R ein Körper ist und für die vom Grad 2 verwende ich die Mitternachtsformel.. also hätte ich wohl über R gar keine Verwendung für das Eisensteinkriterium.

Das heißt letztlich verwende ich das Kriterium eigentlich nur, um Irreduzibilität über Q zu zeigen..
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt zwei Versionen vom Eisensteinkriterium. Die eine, die du selbst gepostet hast. Und dann eben die, wo der Ring zusätzlich zu IB noch faktoriell sein muss, dann gilt Irreduzibilität auch im Quotientenring. Falls dein Ausgangsring die ganzen Zahlen sind, dann kannst du offensichtlich beide Versionen verwenden.

Es gibt unendlich viele Ringe, die die reellen Zahlen als Quotientenkörper haben. Aber keinen von denen wirst du besser verstehen als die reellen Zahlen selber (geschweige denn, wie die Primideale darin aussehen; ich wüsste es jedenfalls nicht).
Konstruktion: Man nehme sich Z und adjungiere eine Transzendenzbasis von R über Q.

Und ja, du hast richtig erkannt, dass Eisenstein hier überflüssig ist...
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Ach soo.. das sind zwei verschiedene Versionen. Das hat mich ziemlich verwirrt... Aber jetzt hab ichs.

Angenommen ich habe ein Polynom mit Koeffizienten aus Z, dann kann ich mit "meiner" Version zeigen, dass das Polynom irreduzibel über Z ist. (wenn das Eisensteinkriterium erfüllt ist).

Mit der anderen Version (die geht, da Z faktoriell) kann ich dann analog zeigen, dass das Polynom irreduzibel über Q ist.

Ist natürlich auch alles allgemeiner einsetzbar (wie vorher diskutiert), aber das wäre mal das leichteste Beispiel.

Habe ich Koeffizienten aus Q, R oder einem anderen Körper, kann ich das Eisensteinkriterium gar nicht einsetzen, da es in Körpern keine Primelemente gibt.

Ich glaub ich habs jetzt verstanden.. Vielen Dank euch zwei smile
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