Periodizität

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24.03.2014, 17:13	Tobsn145	Auf diesen Beitrag antworten »
Periodizität Meine Frage: Ich hab Probleme bei folgenden 2 Beispielen: Man soll bestimmen, ob die Funktionen periodisch sind und ggf. die kleinste Periode bestimmen. 1) $\begin{eqnarray} f(x)=3/(cosx-5) \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} f(x)=(1+x)/(sin^2(x)-1) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: ich weiß ja soweit, dass wenn die Funktion periodisch ist, folgendes gegeben sein muss: $\begin{eqnarray} sin(x)=sin(x+2pi) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} f(x)=f(x+-p) \end{eqnarray}$ das hilft mir aber nicht wirklich weiter
24.03.2014, 17:15	Tobsn1145	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodizität Dass periodische Funktionen beschränkt sein müssen weiß ich
24.03.2014, 17:46	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodizität Wenn du um die 2Pi-Periodizität von sin bzw. cos weißt, dann sollte Teil 1. klar sein. Bei Teil 2. kannst du leicht zeigen, dass f nicht beschränkt ist und daraus folgern.
25.03.2014, 09:37	Tobsn11145	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodizität Danke wie schreib ichs aber mathematisch korrekt auf? zur Beschränktheit von 2): ich überleg mir das immer, wenn Nenner bzw. Zähler nach unendlich geht, wohin dann der ganze Term geht. Gibts da auch eine "elegantere" (im Sinne von Mathematischer Beweis) Lösung?
25.03.2014, 12:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde bei 2) zunächst mal den Definitionsbereich $\begin{eqnarray} D_f \end{eqnarray}$ der Funktion unter die Lupe nehmen. Der lautet offenbar $\begin{eqnarray} D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \bigm\| k\in\mathbb{Z} \right\} \qquad () \end{eqnarray}$ . Eine grundsätzliche Forderung an eine periodische Funktion mit Periode $\begin{eqnarray} T>0 \end{eqnarray}$ lautet $\begin{eqnarray} x\in D_f \quad\Leftrightarrow\quad x+T \in D_f \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Angenommen, die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist periodisch mit Periode $\begin{eqnarray} T>0 \end{eqnarray}$ . Dann kann wegen () $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ nur ein ganzzahliges Vielfaches von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ sein - warum? Für $\begin{eqnarray} x\in D_f \end{eqnarray}$ ist aber nun $\begin{eqnarray} f(x+m\pi) = \frac{1+x+m\pi}{\sin^2(x+m\pi)-1} = \frac{1+x+m\pi}{\sin^2(x)-1} \end{eqnarray}$ , speziell für $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ bedeutet dies $\begin{eqnarray} f(m\pi) = -1-m\pi \end{eqnarray}$ . Was schließt du daraus?
25.03.2014, 15:21	Simone234234d3	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} m=-pi \end{eqnarray}$ (?)
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25.03.2014, 15:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Anmerkung zum vorigen Beitrag wurde von der hiesigen Boardzensur verweichlicht, deswegen habe ich ihn ganz gestrichen. @Grautvornix Mach du mal bitte weiter.
25.03.2014, 16:29	Simone234234df	Auf diesen Beitrag antworten »
Trotzdem danke, auch wenn ichs überhaupt ned versteh
25.03.2014, 16:30	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
Touché! Aaalso, bei 1) solltest du versuchen zu zeigen, das $\begin{eqnarray} f(x+2k\pi)=f(x),~k\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ . Beachte dabei: Es gilt: $\begin{eqnarray} \cos(x+2k\pi)=cos(x) \end{eqnarray}$ Bei 2) könntest du für eine spezielle Folge, wie z.B. $\begin{eqnarray} x_n=\frac{(8n+1)\pi}4 \end{eqnarray}$ mal die Werte $\begin{eqnarray} f(x_n) \end{eqnarray}$ betrachten...
25.03.2014, 18:30	Simone234234d2e23	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry aber ich pack das gar nicht

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