Differentialgleichung: Probleme bei partikulärer Lösung

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moclus Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung: Probleme bei partikulärer Lösung
Hallo Leute smile

Ich verstehe bei der partikulären Lösung folgendes nicht.
Bei a, z und c handelt es sich um Konstanten.

Es handelt sich um eine inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung:


Die homogene Lösung hab ich ermittelt mit:


und bin auf:
gekommen.

Nun soll ich die partikuläre Lösung berechnen mit:
für
und weiß nun überhaupt nicht, was damit gemeint ist.

soll


betragen

Wie kommt denn das zu stande? verwirrt

Wenn ich dt gegen unendlich schicke - komm ich auf die Lösung. Aber wieso soll man denn dt gegen unendlich schicken?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Welches ist denn nun deine homogene Lösung? Ich sehe da nur eine Gleichungskette, die im Regelfall falsch ist.

Zur Partikulärlösung: Wenn y konstant ist, dann ist und die Gleichung wird sehr angenehm.
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige:

Die homogene Lösung ist
Unser Prof verlangt von uns diesen Schritt das wir t gegen unendlich schicken - aber was denn für ein t? Hier komm ich völlig aus dem Konzept.

Edit: Was meinst du genau mit Konstant?
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Es soll nicht dt gegen unendlich gehen, sondern t!

Homogene und partikuläre Lösung lassen sich als Einschwingvorgang bzw. Verhalten im eingeschwungenen Zustand (partikuläre Lösung) deuten, wobei letzteres für t->unendlich eintritt. (Deine homogene Lösung ist ja von der Form exp(-lambda*t), d.h. in der Tat eine abklingende Funktion)

Betrachte es vielleicht so:
a*z = a*y' + c*y ist äquivalent zu:

a*z - c*y = a*y', d.h. ist einmal c*y = a*z so muss die Ableitung von y verschwinden und y ist dann konstant.
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dir irgendwie nicht folgen ... ich blick bei diesem Thema allgemein nicht so gut durch. Wie darf ich das nun mit dem Grenzübergang verstehen? Wo mache ich das und wie setz ich es in die Gleichung ein? Ich steh völlig auf dem Schlauch.

Edit: Aber wie lasse ich die Ableitung denn verschwinden? Mit t gegen 0 funktioniert es ja nicht verwirrt
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

@moclus:
Eine Funktion heisst konstant, wenn sie überall denselben Wert annimmt, also z.B. f(x)=1. Die Ableitung einer konstanten Funktion solltest Du problemlos selber hinbekommen. Immerhin befinden wir uns im Hochschulbereich und das Thema Ableitungen lernt man bereits in der Oberstufe.

Die homogene Lösung ist übrigens immer noch falsch. ist eine Gleichung, aber keine Funktion. Die Funktion lautet y und hängt von t ab. Das erwähnte taucht darin als Parameter auf.

Das Thema Grenzübergang ist dann ein anderes Thema, das Du nach Ermittlung der Lösung angehen kannst. Vermutlich habt ihr es in einem praktischen Zusammenhang behandelt, der die langfristige Entwicklung der Lösung reflektiert.
 
 
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

So meintest du das also mit "Konstant". smile

Ich glaube ich hab mein Problem nicht so klar zum Ausdruck gebracht:

Ich kann Grenzwerte berechnen - aber: Wo setze ich hier an? Man hat mir oben gesagt, ich hab eine e Funktion.

Du hast recht ... hab das garnicht beachtet (unten die Funktion)

Bisher kenn ich nur diese E-Funktion
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt stimmt auch die Darstellung der homogenen Lösung.
Als nächstes brauchst Du eine partikulär-Lösung, d.h. irgendeine Lösung der DGL.
Du könntest jetzt den langen Weg gehen und mittels Variation der Konstanten nach einer solchen Lösung suchen, einfacher ist aber die Überlegung von oben: Setze in die Gleichung ein und forme nach um.
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deinen Rat - aber führt dies zu der Lösung mithilfe ? Ich muss leider diesen Weg gehen unglücklich

edit: Welche Gleichung meinst du nun genau? Der homogenen Lösung oder der Differentialgleichung?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nach wie vor der Meinung, dass Du da etwas missverstehst.
Die homogene Lösung hat erst einmal nichts mit der partikulären zu tun. Wenn Du ihren Grenzwert bestimmst, bekommst Du lediglich einen Wert heraus, der angibt, wie sich die homogene Lösung nach unendlich langer Zeit verhält. Hier würde sie entweder gegen Null gehen (sofern c und a unterschiedliche Vorzeichen haben) oder gegen unendlich. In beiden Fällen bekommst Du aber keine Lösung der inhomogenen Gleichung heraus.
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich gebe auch zu, dass ich das noch nicht so richtig verstanden habe mit "t gegen unendlich". Unser Prof hat uns dies als "Algorithmus" mitgegeben, ohne etwas zu erläutern. Ich kenne Verfahren wie Variation der Konstanten die ich auch anwenden kann - nur hier steh ich völlig auf dem Schlauch.

Auf meinem Zettel steht:

Also forme ich nun die Differentialgleichung nach y um, hab ich das richtig verstanden?

thk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Namenloser324

Homogene und partikuläre Lösung lassen sich als Einschwingvorgang bzw. Verhalten im eingeschwungenen Zustand (partikuläre Lösung) deuten, wobei letzteres für t->unendlich eintritt.
...
a*z - c*y = a*y', d.h. ist einmal c*y = a*z so muss die Ableitung von y verschwinden und y ist dann konstant.


Sorry ich wage mal ebenfalls die Vermutung, dass yp einfach aus dem "stationären Zustand" (y'=0) entnommen werden soll, der hier für t -> oo erreicht wird. Auch dieser ist partikuläre Lösung:

a*z - c*yp = a*yp' = 0

Bin wieder raus
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast noch nicht berücksichtigt, was ist, wenn .
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

wie meinst du das genau aus dem stationären Zustand?
Wir haben eine Anfangsbedingung gegeben, die aber erst am Ende berücksichtigt wird, die lautet
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Doppelpost: (Sorry für die blöde Antwort): Aber wirds wohl nicht sein oder?

Edit: Und was meinst du genau mit ?
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von moclus
wie meinst du das genau aus dem stationären Zustand?

Als stationär bezeichnet man einen Zustand, bei dem sich die betrachtete Größe (y) nicht mehr ändert. Folglich gilt dann y'=0.
Der Beitrag von Namenloser324 erklärt das auch.

Wenn die Funktion y(t) einen solchen Zustand anstrebt (also für y -> oo gegen einen bestimmten Wert konvergiert) dann bleibt dieser Wert als partikuläre Lösung quasi übrig, wenn der homogene Lösungsteil verschwindet (gegen 0 konvergiert).

--> yp=...

Mit der Anfangswertbedingung y0=0 kannst du anschließend die Konstante in der homogenen Lösung berechnen.
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Wo verschwindet denn da der homogene Lösungsanteil? Wie sieht denn der Grenzübergang nun aus? Ich versteh auch nicht was gerade mit dem gemeint war. Wenn ich y(t) gegen minus unendlich schicke, hab ich auf der linken Seite unendlich. Oder ich verstehe wiedermal nichts ..

Edit: Versteh ich das nun richtig:

Wenn ich y(t) gegen unendlich schicke, konvergiert dieser gegen 0 - weil mein Prof einen stationären Zustand vorausgesetzt hat, also ein Zustand, an dem sich nichts mehr verändert - somit = 0 ist? Woher soll man denn sowas wissen verwirrt
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, dass ich nochmal ein Doppelpost mache:

Aber ich glaube jetzt hat es Klick gemacht!
Ich hab völlig vergessen, das ich noch eine Zeichnung habe:

Diese Differentialgleichung drückt das folgende aus:

Ab einem bestimmten Zeitpunkt "verändert" sich die Funktion nicht mehr und rennt ins unendliche. Also ist die Ableitung der Funktion im stationären Zustand = der Wert der partikulären Lösung und der restliche Term verschwindet.

Den homogenen Lösungsteil hab ich ja vorhin berechnet, und wenn ich den gegen Unendlich laufen lasse, rennt er gegen 0. Doch woher weiß ich das der homogene Anteil ist?
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Die allgemeine Lösung setzt sich ja zusammen aus yh und yp:
mit


yp hast du nun ebenfalls berechnet bzw. hergeleitet.

Woher soll man denn sowas wissen

Das ist bei dieser DGL nicht zwingend, es kommt auf die Parameter an.
(1) Handelt es sich um einen Zerfall (Abbau) mit konstantem Zulauf, dann sind c/a sowie z positiv
und es wird eben ein solcher stat. Zustand erreicht. Man kann das aus der DGL dann folgern.

(2) Bei einem Wachstum mit Abfraß oder so ist es nicht so, wie man auch aus der DGL argumentieren kann.

Dass für ein konstantes K yh im ersten Fall gegen 0 geht siehst du ja sicher.

Jetzt kannst du K aus dem Anfangswert y0 = y(0) = 0 bestimmen.

---
Sehe gerade - mit deinem letzten Post überschnitten. Ich lasse es jetzt so.
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Beitrag hat mir trotzdem sehr weitergeholfen (alle anderen natürlich auch von Helferlein und Namenloser234).

Doch war meine Schlussfolgerung korrekt? Wenn ich nun sehe das die E Funktion gegen 0 geht, dann weiß ich - das in der Differentialgleichung ein Teil des Terms verschwinden muss, da die Funktion gegen einen konstanten Wert zustrebt. y' muss somit gegen 0 konvergieren, da die Ableitung die Änderung der Funktion beschreibt - doch die Funktion ändert sich nicht mehr.

Ich darf jetzt aber nicht denken, dass der Teil der Differentialgleichung der beim Grenzübergang wegfällt, gleich dem homogenen Anteil ist, oder? Da doch die "gesamte Differentialgleichung" eigentlich eine inhomogene Differentialgleichung ist. Auch der Teil der wegfällt, gehört meines Wissens dazu.
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, du bringst da noch etwas durcheinander. Wir verallgemeinern mal und lesen aus der DGL:
Es sei
y’ = -k*y + z, k>0 ist die Abbaukonstante, z der Zulauf
anders geschrieben
y' = -k(y - z/k)
y' = -k(y - G) bedeutet, wenn y gegen Grenzwert G=z/k läuft, dann ist y' = 0

Die Änderungsrate y' ist also von (y - G) abhängig.
Wenn y > G ist, dann ist y'<0, also wird y kleiner
Wenn y < G ist, dann ist y'>0, also...
-->
y wird stets zu G getrieben

Homogene Lösung:
y' + ky = 0
y' = -ky
Mit der gleichen Logik wie oben geht immer y -> 0 (immer noch ist k>0)
Die homogene Lösung der DGL verschwindet für t -> oo
(e-Fkt. mit neg. Exponenten)
-->
übrig bleibt die partikuläre Lösung G=z/k

Hoffe, ich konnte etwas zur Ordnung beitragen smile
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht genau, ob ich alles verstanden habe - aber folgender Sachverhalt ist mir immer noch unklar: Wenn ich nun die homogene Lösung ermittelt habe. Muss ich sie doch irgendwie in die Gleichung einsetzen können um t gegen unendlich laufen zu lassen. In dieser Aufgabe für:

Ich weiß das y von t abhängt, aber da ist kein t enthalten.

Also müsste ich doch nun meine homogene Lösung:


in die Gleichung einsetzen um zu zeigen, dass:
ist.

Ich verstehe das nun so:

y' entspricht der homogenen Lösung, in der Aufgabe gilt dann:


Ist dieser Vorgang nun richtig?
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich nun die homogene Lösung ermittelt habe. Muss ich sie doch irgendwie in die Gleichung einsetzen können um t gegen unendlich laufen zu lassen.
I. Allg. ist die homogene Lösung unvollständig und lässt sich nicht isoliert betrachten.

Ich weiß das y von t abhängt, aber da ist kein t enthalten.
Doch: y' ist von t abhängig.

y' entspricht der homogenen Lösung
Nein: y=yh + yp
yh für sich genommen ist unvollständig.
Es müsste az = a*yh' + c*yh gelten, was nicht der Fall ist, denn dann könnte yp=0 sein.

Hier geht zwar yh -> 0. Die Folgerung daraus lässt sich nicht verallgemeinern.
Was hier stimmt, stimmt nicht immer.

Eine direkter Beweis des Grenzwertes G ohne Lösung der DGL steht ja oben.

Für C1 setzt du nun in der allgemeinen Lösung (also yh + yp) t=0 und das gegebene y(0) = 0 ein.
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für C1 setzt du nun in der allgemeinen Lösung (also yh + yp) t=0 und das gegebene y(0) = 0 ein


Ich glaube, dass ist der Schritt - der mir fehlt. Wie du siehst, ist für mich dieses "Abstrakte" schwer zu verstehen. Kannst du mir vielleicht zeigen, wie das genau geht? Ich weiß nicht wie ich C1 darauf genau übertragen soll. Mein Yh besteht ja aus C1 verwirrt

(Bedanke mich jetzt schonmal für deine Geduld)
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Trost, das ist einfach.

Wir haben bereits die allgemeine Lösung mit

erhalten
und das zu lösende Anfangswertproblem (AWP) gegeben mit


Zum Zeitpunkt t=0 gilt also y=0.

Wir setzen also in der Gleichung y=0 und t=0
und erhalten den Wert oder Ausdruck für C1
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Klasse, ich denke ich hab nun alles verstanden.

Vielen vielen Dank, dir und den anderen! Wink
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne, auch im Namen aller
Wink
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