Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen

24.03.2014, 19:40

rbbt

Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen

Aufgabe
Bringen Sie die beiden harmonischen Schwingungen
$\begin{eqnarray*} y_{1}= \sin(x) <br /> y_{2}= \sqrt{3} cos(x) \end{eqnarray*}$
zur ungestörten Überlagerung und stellen Sie die resultierende harmonische Schwingung durch eine Sinusschwingng vom Typ $\begin{eqnarray*} y(x)=A\sin(x+ (phi)) \end{eqnarray*}$ dar.
Bestimmen Sie die Nullstellen der resultierenden Schwingung.

so.. ich habe gerechnet:

$\begin{eqnarray*} A=\sqrt{1²+\sqrt{3}+2*\sqrt{3}*cos(0)}=2,54 \end{eqnarray*}$

und "phi"=0

resultierende Sinusschwingung
$\begin{eqnarray*} y(x)=2,54*sin(x) \end{eqnarray*}$

ich hoffe das ist soweit richtig .. ich bin davon ausgegangen das die phasenwinkel 0 sind.

Ich hab jetzt aber zweifel bei den Nullstellen.
Die Formel wäre ja N0= -c/b ... aber hab ich ja nicht.
Bei Nullsetzen..
$\begin{eqnarray*} 0=2,54*\sin(x) \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Satz vom Nullprodukt
sin(x)=0
x=0
damit kann ich auch nichts anfangen...

24.03.2014, 22:21

thk

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RE: Überlagerung zwei harmonischer Schwingungen
Sorry, dein A (wie Amplitude) stimmt leider schon mal nicht

24.03.2014, 23:15

rbbt

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ja.. okay... deinem Bild entnehme ich jetzt das A=2 sein soll, richtig?

das zeigt mir aber leider auch nicht wo mein Fehler liegt.

was ist denn mit den winkeln? die sind doch 0? ist cos0 dann trotzdem falsch? Muss ich das ganz weglassen? oder woran liegts?

24.03.2014, 23:34

Dopap

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die krux ist die, dass man nicht zeigen kann wo deine Fehler sind. Es fehlt ein Ansatz. Irgendwelche Annahmen bringen nichts.

zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} A=\sqrt{1^2+(\sqrt 3)^2}=2 \end{eqnarray*}$

wenn die Summe = $\begin{eqnarray*} A\sin(x+\varphi) \end{eqnarray*}$ sein soll.

Hier solltest du mal nach den Additionstheoremen suchen.

25.03.2014, 09:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von rbbt
so.. ich habe gerechnet:

$\begin{eqnarray*} A=\sqrt{1²+\sqrt{3}+2*\sqrt{3}*cos(0)}=2,54 \end{eqnarray*}$

und "phi"=0

Mit welchem Formelsatz du auch immer arbeitest, anscheinend hast du nicht berücksichtigt, dass bei $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ der Kosinus statt Sinus steht. Deine (ohne Erklärungen stattfindende) Rechnerei deutet jedenfalls darauf hin, dass du mit

$\begin{eqnarray*} y_1 &=& \sin(x) \\ y_2 &\stackrel{?}{=}& \sqrt{3}~{\color{red}\sin}(x) \end{eqnarray*}$

rechnest. Tatsächlich sollte die zweite Zeile aber eher

$\begin{eqnarray*} y_2 = \sqrt{3}\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$

lauten, wenn du schon irgend so eine sinusfixierte Rechenanweisung verwendest.

25.03.2014, 14:24

rbbt

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Die Formel die ich verwende ist:

$\begin{eqnarray*} A=\sqrt{A1²+A2²+2*A1*A2*cos(phi2 - phi1)} \end{eqnarray*}$

deswegen wollte ich gerne wissen ob phi1 genauso wie phi2 jeweils Null sind.

Also danke für den Hinweis auf $\begin{eqnarray*} y_{2}=\sqrt{3}sin(x+\frac{\pi }{2}) \end{eqnarray*}$ sie sind also NICHT Null.

dann ist $\begin{eqnarray*} phi_{2}=\frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} A=\sqrt{1²+\sqrt{3}²+2*1*\sqrt{3} *\cos((\frac{\pi }{2} )-0) } = 2 \end{eqnarray*}$ Freude

dann

$\begin{eqnarray*} phi=arctan\frac{A_{1}*sin(phi_{1} + A_{2} * sin(phi_{2})}{A_{1}*cos(phi_{1} + A_{2} * cos(phi_{2})} = arctan \frac{1,55}{0,22} = 1,43 = 81,92^{o} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{x}= 2\sin(x+1,43) \end{eqnarray*}$

und zu den Nullstellen .. ich hab noch nie Nullstellen einer Sinusfunktion berechnet.
In der Formelsammlung habe ich folgende Formel gefunden und einfach meine Weerte eingefügt. Ist korrekt? oder sollte man die erste Nullstelle berechnen? wenn ja wie?

$\begin{eqnarray*} y_{x}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L=\left\{ \frac{k*\pi *c}{b}, k\in Z\right\} = \left\{ \frac{k*\pi *1,43}{1}, k\in Z\right\} \end{eqnarray*}$

25.03.2014, 15:10

HAL 9000

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Deine Konzentration beim Rechnen kann man nur als unterirdisch bezeichnen. Oben schon hattest du ein Quadrat bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ vergessen, das ist diesmal bei der Amplitudenrechnung immerhin nicht nochmal passiert. Aber in der Zeile

$\begin{eqnarray*} \phi = \arctan\frac{A_1\sin(\phi_1) + A_2\sin(\phi_2)}{A_1\cos(\phi_1) + A_2\cos(\phi_2)} \end{eqnarray*}$

scheint ja nun beim Einsetzen alles schiefgegangen zu sein: Mit $\begin{eqnarray*} A_1=1,A_2=\sqrt{3},\phi_1=0,\phi_2=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ kommt da tatsächlich

$\begin{eqnarray*} \phi = \arctan\frac{1\cdot 0 + \sqrt{3}\cdot 1}{1\cdot 1 + \sqrt{3}\cdot 0} = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ} \end{eqnarray*}$

heraus...

25.03.2014, 16:51

rbbt

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und die Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} x_{o}= -c/b = -\frac{\frac{\pi }{3} }{1} = -\frac{\pi }{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{k}=k*\frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$

(die Formel steht im Posting davor)

?

25.03.2014, 16:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von rbbt
$\begin{eqnarray*} x_{k}=k*\frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$

Was bedeutet dies - für alle ganzzahligen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Für k=0 kommt da 0, und für k=2 da $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\pi \end{eqnarray*}$ heraus - beides keine Nullstellen von

$\begin{eqnarray*} \sin(x) + \sqrt{3}\cos(x) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{3} \right) \end{eqnarray*}$ . unglücklich

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