Äquivalenzklasse

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zewa-softis Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzklasse
Hallo!

Für a,b \in N: aRb <=> für alle p \in P. ( p|a <=> p|b)

Zeige: jede äquivalenzklasse (bis auf eine Ausnahme) hat unendlich viele Zahlen

Ich habe es geschafft, zu zeigen dass es eine Äquivalnezrelation ist.
ABer wie das genau mit den Klassen vor sich geht weißß ich leider nicht.

Such ich mir ein Element aus N oder P und schau ob es in Relation steht?
aus N oder ?

Vielen Dank für eure Hilfe :-)
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklasse
hallo,
hier sollte man sich die äquivalenzklassen näher angucken. 2 zahlen a und b
sind äquivalent, wenn sie beide p als primfaktor haben, und das soll für alle
p el.von P gelten.
Mein tip: wenn p|a, dann gilt natürlich auch p|a^2, p|a^3 usw. Augenzwinkern
gruss ollie3
 
 
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklasse
Zitat:
Original von ollie3
Mein tip: wenn p|a, dann gilt natürlich auch p|a^2, p|a^3 usw. Augenzwinkern
Man sollte hier auf die besagte Ausnahme hinweisen Augenzwinkern
zewa-softis Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank,
also die Ausnahme ist 1

und eine frage hätte ich noch, wie funktioniert das mit einem repräsentantensystem
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Gib doch erstmal alle Äquivalenzklassen an. Danach kannst du aus jeder Klasse einen Vertreter wählen (also bspw. den kleinsten).
zewa-softis Auf diesen Beitrag antworten »

[1] = {1}
[2] = {2,4,6,8,....}
[3] = {3,6,9,12,...}

passt das so?
hab soeben ieder kein klares bild vor augen :/
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ihr habt die natürlichen Zahlen ohne Null definiert?

Bis dahin ist es richtig, du kannst dir nun mal überlegen wie z.B. [6] aussieht, und dir dann überlegen, wie ein Repräsentantensystem aussieht wenn wir obdA den kleinstmöglichen Repräsentanten jeder Klasse nehmen.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zewa-softis
[1] = {1}
[2] = {2,4,6,8,....}
[3] = {3,6,9,12,...}

passt das so?
hab soeben ieder kein klares bild vor augen :/
Nein, das stimmt so nicht. So gilt 3|6, aber nicht 3|2, also sind 6 und 2 nicht äquivalent. Außerdem sollte dir auffallen, dass die 6 in 2 verschiedenen Äquivalenzklassen auftritt, wie kann das sein?
zewa-softis Auf diesen Beitrag antworten »

ja haben wir ohne Null
aber wäre [0] = N, also die klasse für null ja alle natürlichen Zahlen oder ?
wäre die von [6] = {2,3,6,9,12} oder nur {6,12, ...}

und für das repräsentantensystem nehme ich einfach das kleinste raus? wie schreib ich das dann auf? ich kann mir leider gar nichts vorstellen :/
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe einen neuen Beitrag geschrieben, hatte einen Fehler übersehen.
zewa-softis Auf diesen Beitrag antworten »

ok also nochmal neu
[0] = alle natrülichen Zahlen
[1]= {1}
[2] = {2,4,8,16..}
[3] = {3,9,27,...}
....
[6] = [6,36,..]

jede Zahl x kommt einmal in [0], [x] und wenn sie eine potenz davon ist, d.h. bei 36 ist in [0], [6], [36]drinnen

oder??
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zewa-softis
ok also nochmal neu
[0] = alle natrülichen Zahlen
[1]= {1}
[2] = {2,4,8,16..}
[3] = {3,9,27,...}
Das ist richtig.
Zitat:

....
[6] = [6,36,..]
Naja, auch 2*6=12 ist in dieser Äquivalenzklasse enthalten. Genauso 2^2*6=24....

Du solltest dir als Vertreter mal diejenigen Zahlen auswählen, die nur einfache Primfaktoren (d.h. solche mit Potenz 1) haben und dann deren Äquivalenzklasse bestimmen..
zewa-softis Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt bin ich irgendwie komplett verwirrt..
ist 12 in [2] enthalten ja oder nein?
nein oder? da 12=2*2*3 und 2 teilt nicht 3
?
zewa-softis Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du mir mal bitte ein solches system angeben, damit ich überhaupt weißß worauf ich hinaus möchte traurig
bitte
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zewa-softis
jetzt bin ich irgendwie komplett verwirrt..
ist 12 in [2] enthalten ja oder nein?
nein oder? da 12=2*2*3 und 2 teilt nicht 3
?
Richtig. Ich sagte ja schon dass 12s in [6] enthalten ist, also kann es nicht auch noch in [2] enthalten sein.
2 und 3 teilen beide sowohl 6 als auch 12, also ist 6 zu 12 äquivalent, d.h. beide liegen in der selben Äquivalenzklasse.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zewa-softis
Könntest du mir mal bitte ein solches system angeben, damit ich überhaupt weißß worauf ich hinaus möchte traurig
bitte
Wie gesagt: Nimm dir mal die Menge aller Zahlen mit "einfachen" Primfaktoren, d.h. solche Zahlen, in denen jeder Primfaktor nur einmal vorkommt. Dann schau dir an wie die zugehörige Äquivalenzklasse aussieht.
zewa-softis Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank für deine geduld!!! :-)

habe mir nun einige angesehen und die Äquivalenzklassen primzahlen enthalten ihre potenzen
und falls ich das jetzt richitg sehe, dann ist ja zum beispiel [6] = [2]*[3] und [12] = [6]*[2]
und [10] = [2]*[5]..
das stimmt soweit oder?

wie komm ich nun zu so einem system?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Notation stimmt nicht, du kannst keine Äquivalenzklassen multiplizieren.
Die von Primzahlen erzeugten Äquivalenzklassen enthalten alle Potenzen von dieser Primzahl, das stimmt.
Was ist nun mit den Zahlen, die das Produkt zweier verschiedener Primzahlen sind, bspw 6=2*3? Wie sieht da die Äquivalenzklasse aus?
zewa-softis Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich das vll so schreiben
[6] = { x*y | (x,y) \in [2]x[3] mit x \in [2], y \in [3] }
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zewa-softis
kann ich das vll so schreiben
[6] = { x*y | (x,y) \in [2]x[3] mit x \in [2], y \in [3] }
Ja, das ist schon richtig. Nun das selbe für Zahlen mit 3 verschiedenen Primfaktoren usw.
zewa-softis Auf diesen Beitrag antworten »

[abc] = { x*y*z | (x,y,z) \in [a]x[b]x[c] mit .....}
usw
oder?

ist das dann mein system?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge der Repräsentanten sind genau diejenigen Zahlen mit paarweise verschiedenen Primfaktoren, ja.
zewa-softis Auf diesen Beitrag antworten »

und wie kann ich das jetzt formal korrekt hinschreiben??
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau formal hinschreiben? verwirrt
Das, was ich oben hingeschrieben habe, war doch formal korrekt.
Was ist an "Die Menge der Repräsentanten sind genau diejenigen Zahlen mit paarweise verschiedenen Primfaktoren" formal inkorrekt?
zewa-softis Auf diesen Beitrag antworten »

Aso dachte dass muss man mit mengen hinschreiben oder so ...
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