Logarithmusgleichung lösen

25.03.2014, 15:44

123-michi19

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Logarithmusgleichung lösen

Meine Frage:
Hi zusammen,

ich habe wahnsinnige Schwierigkeiten beim Lösen von ln - Gleichungen, da ich auch unter anderem nicht mit den ln-Gesetzen klar komme. Ein Beispiel-Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} ln \frac{x+2}{2x} \end{eqnarray*}$

Hier sollen die Nullstellen und die Definitionsmenge bestimmt werden.

Meine Ideen:
Was ich jetzt schon einmal weiß, ist, dass ich für die Definitionsmenge die Gleichung größer 1 setzen muss. Für die Nullstellen natürlich = 0.

Aber danach weiß ich überhaupt nicht mehr weiter.

Vielen Dank für Eure Hilfe (PS: Bin erst wieder ab 17.30 Uhr online :-)

25.03.2014, 15:50

Equester

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Für die Nullstellen: Überlege dir für welchen Numerus der Logarithmus 0 wird und sorge dafür.

Für den Definitionsbereich: Was gilt beim Logarithmus für dessen Numerus?

Zitat:

Was ich jetzt schon einmal weiß, ist, dass ich für die Definitionsmenge die Gleichung größer 1 setzen muss.

Dabei ist das richtig. Wie aber kommst du darauf? Darf übrigens noch bedeutend mehr dazu Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

25.03.2014, 17:48

123-michi19

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Zitat:

Original von Equester
Für die Nullstellen: Überlege dir für welchen Numerus der Logarithmus 0 wird

Der Logarithmus wird für die Zahl 1 = 0

Zitat:

Original von Equester
Für den Definitionsbereich: Was gilt beim Logarithmus für dessen Numerus?

Das würde heißen, dass mein Bruch größer 1 sein muss?

25.03.2014, 18:56

kgV

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Weil Equester überraschend wegmuss, übernehme ich hier für ihn Augenzwinkern

Augenzwinkern

1) Nullstellen: Ja, der Logarithmus wird Null, wenn sein Argument gleich 1 wird. Du hast also die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{x+2}{2x}=1 \end{eqnarray*}$ zu lösen smile

smile

2) Definitionsbereich: Da liegst du falsch... für welche Zahlen ist der Logarithmus definiert? Für -2? Für 0? Für 8? Auch daraus kannst du dann eine Ungleichung ableiten, die du lösen musst

Lg
kgV
Wink

Wink

25.03.2014, 19:54

123-michi19

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Ah, sorry, mein Fehler.

0 darf auf keinen Fall im Nenner eingesetzt werden und im Zähler wäre es dann -2 ?

25.03.2014, 19:57

kgV

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Nun, so ganz so war das von mir nicht gemeint - war vielleicht ein wenig unsauber beschrieben... smile

smile

Deine beiden zahlenwerte sind richtig, aber noch lange nicht alles:
Was ich meinte: für welche $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \ln x \end{eqnarray*}$ definiert?

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25.03.2014, 20:01

123-michi19

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Upps, das hatte ich falsch verstanden :-)

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R von \left[1;\infty \right[ \end{eqnarray*}$

25.03.2014, 20:04

kgV

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Ist leider falsch... $\begin{eqnarray*} ]0,\infty[ \end{eqnarray*}$ wäre der richtige Definitionsbereich.

Nimm z.B. $\begin{eqnarray*} \left(\frac 14\right)^x=\frac 12 \end{eqnarray*}$ . smile

smile

Dass der $\begin{eqnarray*} \log_{\frac14}\left(\frac 12\right) \end{eqnarray*}$ hier als Ergebnis 0.5 ausspuckt, ist angesichts des Zusammenhangs $\begin{eqnarray*} \frac 12=\sqrt \frac 14=\left(\frac 14\right)^{\frac 12} \end{eqnarray*}$ verständlich?

25.03.2014, 20:07

123-michi19

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Ja, das ist verständlich. Ich hatte in meinen Taschenrechner den ln von 0 eingegeben und da kam "Mathe-Error", darum habe ich erst mit der 1 begonnen :-)

25.03.2014, 20:09

kgV

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Jep, die null ist so grade noch draußen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt wissen wir also, dass das Argument des $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ größer als Null sein muss. Kannst du das mit einer Ungleichung ausdrücken?

25.03.2014, 20:11

123-michi19

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Das wäre dann:

$\begin{eqnarray*} ln \frac{x+2}{2x}> 0 \end{eqnarray*}$

25.03.2014, 20:15

kgV

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nö, den ln lass mal weg Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es geht hier nur um das Argument des ln, also das, was im Allgemeinen Fall das x ist: $\begin{eqnarray*} \ln x \end{eqnarray*}$ ist nur für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ definiert, analog ist $\begin{eqnarray*} \ln\frac{x+2}{2x} \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} \frac{x+2}{2x}>0 \end{eqnarray*}$ definiert smile

smile

So, jetzt haben wir eine Gleichung (für die Nullstellen) und eine Ungleichung (für den Definitionsbereich) zu lösen - wo willst du anfangen? smile

smile

25.03.2014, 20:23

123-michi19

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Dann fangen wir doch mit den Nullstellen an :-)

Das würde jetzt heißen, dass das Argument = 1 sein muss?

25.03.2014, 20:26

kgV

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Ja, $\begin{eqnarray*} \frac{x+2}{2x}=1 \end{eqnarray*}$ ist zu lösen smile

smile

Sollte nicht weiter schwer sein, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.03.2014, 20:28

123-michi19

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Das ist gerade noch so machbar smile

smile

Dann ist x = 2

25.03.2014, 20:32

kgV

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Jep, $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ ist die Nullstelle deiner Logarithmusfunktion Freude

Freude

Jetzt zum Definitionsbereich: als Hinweis gebe ich dir folgende Frage mit auf den Weg: wann ist ein Bruch positiv?

25.03.2014, 20:34

123-michi19

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Zum Beispiel bei Minus geteilt durch Minus verwirrt

verwirrt

25.03.2014, 20:38

kgV

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Ja, und noch der einfachere Fall, dass Zähler und Nenner positiv sind.
Dann versuch mal, zu untersuchen, für welche x Zähler und Nenner negativ sind. Danach kommt die Untersuchung, wann beide positiv sind smile

smile

25.03.2014, 20:45

123-michi19

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Bei Minus geteilt durch Minus:

$\begin{eqnarray*} x>-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$

Und bei Plus geteilt durch Plus:

$\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

25.03.2014, 20:52

kgV

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Bei der -2 ist dir jeweils das Relationszeichen verdreht: es muss genau andersrum sein: $\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ für minus durch minus und $\begin{eqnarray*} x>-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ für plus durch plus smile

smile

Kannst du jetzt eine Aussage treffen, für welche x der Bruch positiv ist? Das sind alle x, die entweder die beiden oberen oder die beiden unteren Bedingungen erfüllen

25.03.2014, 21:08

123-michi19

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Wäre das dann, wenn

$\begin{eqnarray*} x<-2 und zugleich x>0 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} x>-2 und zugleich x<0 \end{eqnarray*}$

25.03.2014, 21:11

kgV

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Deine Relationszeichen stimmen immer noch nicht...
Die Idee mit dem zugleich ist aber goldrichtig Freude

Freude

Wann ist denn $\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ?
Doch wohl für alle x kleiner als minus zwei, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und wann gilt dann $\begin{eqnarray*} x>-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ?

25.03.2014, 21:36

123-michi19

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Sehe ich das schon richtig, dass ich den Bereich suche, wo beide Bedingungen erfüllt sind?

$\begin{eqnarray*} x>-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

25.03.2014, 21:36

kgV

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Genau

smile

25.03.2014, 21:39

123-michi19

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Das wäre doch dann von 0 bis unendlich?

25.03.2014, 21:43

kgV

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Jep

Freude

Und zusammen mit der Lösungsmenge des zweiten Ungleichungssystems $\begin{eqnarray*} ]-\infty,-2[ \end{eqnarray*}$ ergibt sich als Definitionsbereich was?

25.03.2014, 21:48

123-michi19

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Dann haben wir von:

$\begin{eqnarray*} ]-\infty,-2[ \cup \left[0; \infty \right[ \end{eqnarray*}$

25.03.2014, 21:52

kgV

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Richtig

Freude

kleine Anmerkung: das lässt sich evtl auch als $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus[-2,0] \end{eqnarray*}$ schreiben. Darauf kommt man, wenn man die Umkehrung unserer Fälle betrachtet, also untersucht, wo der Bruch negativ ist. Das aber nur als ergänzende Anmerkung, du hast die Aufgabe perfekt gelöst smile

smile

25.03.2014, 21:54

123-michi19

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Ich habe mit dem Gedanken deiner Lösung gespielt, war mir aber zu gefährlich :-)

Herzlichen Dank für deine Hilfe :-)

Wink

Wink

Wink

Wink

25.03.2014, 21:56

kgV

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Diese Lösung kannst du gerne übernehmen, sie ist etwas schöner anzuschreiben als die Vereinigung. Die gibt dafür unsere Überlegungen besser wieder smile

smile

Gern geschehen und eine gute Nacht Schläfer

Schläfer

25.03.2014, 22:18

Kasen75

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Zitat:

Original von 123-michi19
Dann haben wir von:

$\begin{eqnarray*} ]-\infty ; -2[ \ \cup \ \textcolor{red}{ ] } 0; \infty [ \end{eqnarray*}$

Ich habe mal den (vermutlichen) Schreibfehler korrigiert.

25.03.2014, 22:21

kgV

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Da hat michi aber einen Fehler hineineditiert Big Laugh

Big Laugh

Das war davor noch richtig rum geklammert smile

smile

25.03.2014, 22:31

Kasen75

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Sehe ich auch gerade. Das macht die Sache natürlich echt schwierig.
Wobei gerade dann mein Hinweis gar nicht so überflüssig war. Dann kann sich michi noch einmal genauer anschauen, warum es so geschrieben werden muss und es auch mit deiner Schreibweise vergleichen.

25.03.2014, 22:40

kgV

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Ja, dein Hinweis war in jedem Fall wertvoll, weil ich wahrscheinlich nicht mehr so genau auf den Thread geachtet hätte smile

smile

Danke

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