Grenzfunktion; gleichmäßige Konvergenz

25.03.2014, 16:33

KeineAhnung12

Grenzfunktion; gleichmäßige Konvergenz

Meine Frage:
fn(x)= arctan(n*x)

a) bestimme die Grenzfunktion
b) z.z. dass Konvergenz nicht gleichmäßig ist
c) Überprüfung der gleichmäßigen Konvergenz auf den Teilbereichen
[-2,-1], [-1,1], [1, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ )

Meine Ideen:
zu a) bilde lim arctan(nx) as n-> $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$
arctan(x) als Reihen dargestellt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}(nx)^{2n+1} \end{eqnarray*}$

und nun?

b) da würde ich gerne eine Abschätzung machen aber ich kann die geometrische Reihe ja nicht anwenden...

25.03.2014, 16:42

10001000Nick1

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Du brauchst hier gar keine Reihendarstellung.

Für x>0: $\begin{eqnarray*} nx\to \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$

Für x<0: $\begin{eqnarray*} nx\to -\infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$

D.h. wenn f die Grenzfunktion ist:
Für x>0: $\begin{eqnarray*} f(x)=\lim_{y\to\infty}\arctan(y) \end{eqnarray*}$
Für x<0: $\begin{eqnarray*} f(x)=\lim_{y\to -\infty}\arctan(y) \end{eqnarray*}$

f(0) sollte klar sein.

Zu b)
Da zeigst du, dass $\begin{eqnarray*} \Vert f_n-f\Vert_\infty=\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|\not\to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty. \end{eqnarray*}$

25.03.2014, 16:54

KeineAhnung12

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mein ansatz ist:
| arctan(nx) - (pi*x)/(2abs(x)) |
wie rechne ich das weiter?

25.03.2014, 17:02

10001000Nick1

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Wofür ist das dein Ansatz? Für x=0 ist das gar nicht definiert.

25.03.2014, 17:04

KeineAhnung12

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ist (pi*x)/(2abs(x) nicht meine grenzfunktion?

25.03.2014, 17:06

10001000Nick1

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Für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ja. Für x=0 ist das nicht definiert.

25.03.2014, 17:10

KeineAhnung12

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ich habe einen neuen ansatz:
für x>0 z.z.
| arctan(n*x)-(pi/2)|
wie kann ich damit weiter rechnen?

25.03.2014, 17:21

10001000Nick1

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Zitat:

Original von KeineAhnung12
für x>0 z.z.
| arctan(n*x)-(pi/2)|

Da steht ein Term, keine Aussage. Wie willst du da was zeigen?

Also: Du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sup_{x>0}\left|\arctan(nx)-\frac{\pi}{2}\right|\not\to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Dazu kannst du z.B. zeigen, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} \left|\arctan(nx)-\frac{\pi}{2}\right|>1. \end{eqnarray*}$

Mir fällt gerade ein, dass man noch einfacher zeigen könnte, dass die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert (allerdings nur, wenn ihr die entsprechende Aussage schon bewiesen habt, sonst kannst du sie nicht benutzen). Die Aussage lautet: Wenn eine Folge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ stetiger Funktionen gegen eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergiert, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig.

Habt ihr das schon bewiesen? Wenn ja, dann kann man damt ziemlich leicht die gleichmäßige Konvergenz widerlegen. Wenn nicht, dann musst du es so machen, wie oben beschrieben.

25.03.2014, 17:35

KeineAhnung12

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Ja den Satz hatten wir schon. Ich habe jetzt auch die komplette Aufgabe verstanden.
Nun hänge ich bei fn(x)=arctan(x/n)
als grenzfunktion habe ich f(x)=0

ist nullfunktion stetig? wenn ja dann kann ich die nicht gleichm. konvergenz nicht beweisen...

25.03.2014, 17:43

10001000Nick1

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Natürlich ist die Nullfunktion stetig (jede konstante Funktion ist stetig)
Und natürlich kann man die nicht-gleichmäßige Konvergenz zeigen (nur eben nicht mit diesem Satz, den ich oben hingeschrieben habe).

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{n}\to\infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ , für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N}<br /> \end{eqnarray*}$

D.h. $\begin{eqnarray*} \arctan\left(\frac{x}{n}\right)\to ? \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ , für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
Was muss da statt dem Fragezeichen hin?
Daraus kann man dann auf die nicht-gleichmäßige Konvergenz schließen.

25.03.2014, 17:55

KeineAhnung12

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pi/2?

25.03.2014, 17:57

10001000Nick1

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Du meinst $\begin{eqnarray*} \arctan\left(\frac{x}{n}\right)\to \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ ?
Ja, das stimmt.
Weißt du jetzt auch, warum die Funktionenfolge nicht gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f\equiv 0 \end{eqnarray*}$ konvergieren kann?

25.03.2014, 18:00

KeineAhnung12

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ja weil:

|fn(x)-f(x)| = | arctan(x/n) -0| strebt nicht gegen 0 sondern gegen pi/2

stimmt das?

25.03.2014, 18:11

10001000Nick1

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Naja, ein bisschen genauer muss man das schon aufschreiben (aber grundsätzlich stimmt das smile

).

Es gilt: $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|=\left|\arctan\left(\frac{x}{n}\right)\right|\to\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to\pm\infty \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
Also ist $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N}. \end{eqnarray*}$

PS: Ich muss jetzt erstmal weg, und kann erst in ca. 2 1/2 Stunden wieder antworten.

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