Variation d. Konstanten: Klappt "meine" Methode nicht immer?

26.03.2014, 14:15

laienstefan

Variation d. Konstanten: Klappt "meine" Methode nicht immer?

Hi!

Ich fand das Zusammenfassen der Konstanten zu einer einzigen, die man dann variiert, nie so eindeutig. Deshalb bin ich seitdem immer nach folgenden Schritten vorgegangen:

1. Variablen trennen (ist klar)
2. integrieren - nach y auflösen (z.B. $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{dy}{y} \ = ln( \frac{y}{y_0} ) \end{eqnarray*}$
3. alles vor dem x-Ausdruck als Konstante zusammenfassen, also auch Vorzeichen (im Beispiel würde man dann z.B. die Konstante y0 nach rechts bringen)

Jetzt bin ich aber auf ein Problem gestoßen, wo diese wohl vereinfachte Vorgehensweise nicht so eweiteres funktionier. Ich weiß allerdings nicht, wieso:

Für die eigentliche Frage weniger wichtig: Gegeben ist die Gleichung [attach]33588[/attach]Der Ansatz ist u=y^-3 und dann kommt man nach ein wenig Rechnerei auf

Wirklich relevant wird es hier:

$\begin{eqnarray*} u' = - 3/{2x}u - x/2 \end{eqnarray*}$

also eigentlich eine stinknormale DGL 1. Grades. Die homogene DGL lautet

$\begin{eqnarray*} u_h' = - \frac{3u_h}{2x} \end{eqnarray*}$ Das ist natürlich Quark, das x sollte im Zähler stehen und dann macht alles wunderbar Sinn...
nach Trennung d. Variablen und Integration und Anwendung der e-Funktion erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{u_h}{u_0} = e^{- \frac{3}{2}} \frac{x}{x_0} \end{eqnarray*}$

und dann schiebe ich alles außer u_h nach rechts und fasse dort alles außer dem x-Term in k zusammen:

$\begin{eqnarray*} u_h = \frac{u_0}{x_0} e^{- \frac{3}{2}} * x = k*x \end{eqnarray*}$

jetzt wird es partikulär mit Variation d. Konstanten:

$\begin{eqnarray*} u_p = k(x)*x \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} u_p' = k'(x)*x + k(x) \end{eqnarray*}$

dies setze ich in die ursprüngliche DGL ein und erhalte:

$\begin{eqnarray*} k'(x)*x + k(x) = -\frac{3}{2} k(x) - \frac{1}{2} x \end{eqnarray*}$

Hier komme ich ins Stutzen, denn normalerweise kürzt sich er Term mit k(x) immer so schön weg!
dann könnte ich nach k'(x) auflösen, integrieren und hätte meine Lösung.
Aber so? Was läuft hier schief?

Viele Grüße

26.03.2014, 14:22

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vriation d. Konstanten: Klappt "meine" Methode nicht immer?

Zitat:

Original von laienstefan
Hier komme ich ins Stutzen, denn normalerweise kürzt sich er Term mit k(x) immer so schön weg!

Bei lineare DGLn ist das Fall. Und nur für solche ist das Verfahren der Variation der Konstanten ausgelegt. Deine DGL ist aber nicht linear, deshalb geht's schief. Das Verfahren ist hier nicht anwendbar.

Es handelt sich um eine Bernoullische Differentialgleichung - mit einer geeigneten Substitution kannst du diese auf eine lineare DGL zurückführen und anschließend wie gewohnt lösen.

26.03.2014, 14:35

laienstefan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vriation d. Konstanten: Klappt "meine" Methode nicht immer?

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von laienstefan
Hier komme ich ins Stutzen, denn normalerweise kürzt sich er Term mit k(x) immer so schön weg!

Da hast du Recht, aber genau das habe ich doch direkt am Anfang gemacht, oder?

Zitat:

Original von laienstefan
und dann kommt man nach ein wenig Rechnerei auf

$\begin{eqnarray*} u' = - 3/{2x}u - x/2 \end{eqnarray*}$

Das ist doch jetzt linear, oder? Ich klammere im Eingangspost mal alles vorherige ein...

26.03.2014, 14:49

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Variation d. Konstanten: Klappt "meine" Methode nicht immer?

Zitat:

Original von laienstefan
Wirklich relevant wird es hier:

$\begin{eqnarray*} u' = - 3/{2x}u - x/2 \end{eqnarray*}$

Ok. Nachgerechnet hab ich das nicht, ich nehme es mal als richtig an.

Naja, ich komme auf

$\begin{eqnarray*} \ln(u) = - \frac 3 2 \ln(x) + \tilde c \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} u =c \, e^{-\frac 3 2 \ln(x) } \end{eqnarray*}$

Und damit

$\begin{eqnarray*} u =c \, x^{- \frac 3 2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das in die DGL einsetze, erhalte ich

$\begin{eqnarray*} c' \, x^{- \frac 3 2} - \frac{3}{2} c \, x^{- \frac 5 2} = - \frac{3}{2} c \, x^{- \frac 5 2} - \frac 1 2 x \end{eqnarray*}$

Kürzt sich wunderbar weg. Durch deinen Aufschrieb blick ich nicht so recht durch, vergleich am Besten mal, irgendwo wirst du wohl einen Umformungsfehler gemacht haben.

27.03.2014, 07:58

laienstefan

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist mir bei meiner Schrift wohl das x irgendwie in den Nenner gerutscht und ich habe das dann falsch übernommen... Ich kennzeichne das im ursprungsthema mal so, dass eventuelle spätere Leser den Quatsch nachvollziehen können... Oh Mann... Danke

Neue Frage »

Antworten »

Variation d. Konstanten: Klappt "meine" Methode nicht immer?

Verwandte Themen