Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung - Lagrange Multiplikator

26.03.2014, 14:39	Xbf	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung - Lagrange Multiplikator Hallo, ich möchte folgende Aufgabe lösen: Ein Metallstreifen der Breite 10m soll nach der Abbildung zu einer Abflussrinne gebogen werden, sodass deren Querschnitt möglichst groß wird. Wie müssen x und y gewählt werden, wenn $\begin{eqnarray} \alpha=\frac{\pi}{3} \end{eqnarray}$ ? Lösen Sie das Problem mit Hilfe der Lagrangschen Multiplikatorenregel. Wenn ich die Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ und die Nebenfunktion $\begin{eqnarray} g(x,y) \end{eqnarray}$ habe, kann ich das problemlos rechnen. Nur bereitet es mir immer wieder Probleme diese Funktionen zu bestimmen. Ich habe nur folgendes rausgefunden: $\begin{eqnarray} x+2y=10 \end{eqnarray}$ und der Flächeninhalt vom Trapez muss maximal sein. Ich kenne die Winkel von den rechtwinkligen Dreiecken, aber keine Strecken um irgendwas zu berechnen. Tut mir Leid für die schlechte Bildqualität. Wenn mir jemand helfen könnte, wäre das nett. Grüße Xbf
27.03.2014, 00:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Hauptbedingung ist also die Fläche des Trapezes. Dazu benötigst du noch die lange Parallelseite a und die Höhe h, die du mittels des gegebenen Winkels berechnest. Die kleine Kathete unten im rechwinkeligen Dreieck nenne m, dann ist a = x + 2m $\begin{eqnarray} \cos \frac{\pi} 3 = \frac m y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac 1 2 = \frac m y \end{eqnarray}$ Übrigens sieht man auch so, dass das Dreieck wegen des 60°-Winkels ein halbes gleichseitiges Dreieckes ist und deshalb m = y/2 sein muss. Die Höhe h des Trapezes folgt aus demselben Dreieck mittels $\begin{eqnarray} \sin \frac{\pi} 3 = \frac h y \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du die Fläche des Trapezes in x und y ausdrücken. Setze nun $\begin{eqnarray} L(x, y, \lambda) = A_{Trapez}(x, y) + \lambda(10 - x - 2y) \end{eqnarray}$ mY+

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