Invertierbarkeit und Potenz von Matrizen

26.03.2014, 16:07

ThatsNotMyName

Invertierbarkeit und Potenz von Matrizen

Meine Frage:
Hallo!
Ich muss als Teil einer Hausübung folgendes zeigen:
Sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{m \times m} \end{eqnarray*}$ , für die es ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} A^n = 0 \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} E_{m} - A \end{eqnarray*}$ invertierbar ist.
$\begin{eqnarray*} E_{m} \end{eqnarray*}$ bezeichnet die $\begin{eqnarray*} m \times m \end{eqnarray*}$ Einheitsmatrix.

Bitte um Hinweise und Tips!

Meine Ideen:
Ich habe ehrlich gesagt gar keine Ahnung, wie ich vorgehen soll.
Als erstes habe ich überlegt, welche Eigenschaften für A aus der Angabe folgen, aber bin auf nichts gekommen.

26.03.2014, 16:13

weisbrot

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RE: Invertierbarkeit und Potenz von Matrizen
denk an polynome - $\begin{eqnarray*} 1-x^n = (1-x)(x^{n-1}+\ldots+x+1) \end{eqnarray*}$ .
lg

26.03.2014, 16:16

Louis1991

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RE: Invertierbarkeit und Potenz von Matrizen
Hallo,

Betrachte $\begin{eqnarray*} (E_m - A)(E_m + A) \end{eqnarray*}$ . Fahre induktiv fort.

lg

Edit: weisbrot war schneller. Sorry.

26.03.2014, 16:20

ThatsNotMyName

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RE: Invertierbarkeit und Potenz von Matrizen

Zitat:

Original von weisbrot
denk an polynome - $\begin{eqnarray*} 1-x^n = (1-x)(x^{n-1}+\ldots+x+1) \end{eqnarray*}$ .
lg

Erstmal danke für die schnelle Antwort.
Kann ich das 1 zu 1 auf meine Matrix übertragen?
Also $\begin{eqnarray*} 1-A^n = (1-A)(A^{n-1}+\ldots+A+1) \end{eqnarray*}$ ?
Für was steht dann die 1? Für die Einheitsmatrix? Für eine Matrix, bei der alle Einträge 1 sind?

26.03.2014, 16:31

weisbrot

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RE: Invertierbarkeit und Potenz von Matrizen

Zitat:

Kann ich das 1 zu 1 auf meine Matrix übertragen?

die einzigen rechenregeln, die für die gültigkeit dieser gleichung nötig sind, sind solche, die auch analog bei matrizen gelten. also: vielleicht. überleg es dir selbst!

Zitat:

Für was steht dann die 1? Für die Einheitsmatrix? Für eine Matrix, bei der alle Einträge 1 sind?

die 1 steht für das 1-element (neutrale element bei der multiplikation) in irgendeiner geeigneten algebraischen struktur (in der man multiplizieren kann), z.b. die ganzen zahlen, oder matrizen - du weißt sicher, was das 1-element bei matrizen ist.

lg

27.03.2014, 08:32

ThatsNotMyName

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Sorry, aber ich kann damit nicht viel anfangen.
Sagt das was über die Eigenschaften eines $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aus, für das gilt $\begin{eqnarray*} A^n=0 \end{eqnarray*}$ ? Oder sagt es was über die Invertierbarkeit aus?

28.03.2014, 13:01

weisbrot

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womit kannst du nichts anfangen?

Zitat:

Sagt das was über die Eigenschaften eines $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aus, für das gilt $\begin{eqnarray*} A^n=0 \end{eqnarray*}$ ?

sagt was etwas aus?

wo ist überhaupt noch das problem? du hast eine schöne polynomgleichung, die musst du nur noch in eine entsprechende matrixgleichung überführen, was aber eigentlich auf offensichtliche weise möglich sein sollte. wenn nicht, dann halte dich einfach mal an louis' am anfang geschriebene antwort.

lg

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