Funktionalanalysis, lineare, stetige Operatoren

26.03.2014, 20:32

Wombat91

Funktionalanalysis, lineare, stetige Operatoren

Sei A= $\begin{eqnarray*} \{T\in L(X,X): \end{eqnarray*}$ T bijektiv $\begin{eqnarray*} \} \end{eqnarray*}$ , ist diese Menge dann offen in L(X,X)?

X ist hierbei ein normierter $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Vektorraum.

Wenn jetzt A offen wäre, dann müsste ich ja für jedes T aus A eine offene Kugel mit Mittelpunkt T finden, die ganz in A liegt.

Wie soll ich das zeigen, kann mir da jemand einen Tipp geben? Oder eine Idee für ein Gegenbeispiel aufzeigen.
Da wäre ich sehr dankbar.

Danke vielmals für die Hilfe.

28.03.2014, 16:56

Che Netzer

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RE: Funktionalanalysis, lineare, stetige Operatoren

Zitat:

Original von Wombat91
X ist hierbei ein normierter $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Vektorraum.

Nicht zufällig auch vollständig?

28.03.2014, 18:34

Wombat91

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RE: Funktionalanalysis, lineare, stetige Operatoren
Nun ja die Frage war allgemein gestellt. Heisst das, dass es bloss über vollständigen Vektorräumen gilt?
Wenn ja, wieso?

28.03.2014, 19:04

Che Netzer

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RE: Funktionalanalysis, lineare, stetige Operatoren
Für vollständige Räume ist die Menge tatsächlich offen. Dazu zeigt man: Ist $\begin{eqnarray*} T\in L(X) \end{eqnarray*}$ stetig invertierbar und $\begin{eqnarray*} S\in L(X) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lVert S-T\rVert<\lVert T^{-1}\rVert^{-1} \end{eqnarray*}$ gegeben, so ist auch $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ stetig invertierbar.

Ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ aber nicht vollständig, so könnte es Operatoren geben, die zwar invertierbar (also bijektiv), aber nicht stetig invertierbar sind. Solche könnten durchaus Randpunkte deiner Menge sein. Betrachte z.B. $\begin{eqnarray*} (\alpha_n)\mapsto(\tfrac1n\alpha_n) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} c_{00} \end{eqnarray*}$ .

29.03.2014, 11:16

Wombat91

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RE: Funktionalanalysis, lineare, stetige Operatoren
Danke vielmals für die Hilfe. Eine Frage hätte ich aber noch, wieso können wir $\begin{eqnarray*} a_n\mapsto a_n/n \end{eqnarray*}$ nicht stetig invertieren, bzw. was bedeutet überhaupt stetige Invertierbarkeit?

29.03.2014, 11:45

Che Netzer

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RE: Funktionalanalysis, lineare, stetige Operatoren
Der inverse Operator wäre $\begin{eqnarray*} (\alpha_n)\mapsto(n\alpha_n) \end{eqnarray*}$ . Der ist auf $\begin{eqnarray*} c_{00} \end{eqnarray*}$ zwar überall definiert (sprich: der genannte Operator ist tatsächlich bijektiv), aber nicht stetig (wieso nicht?). Und weil der inverse Operator nicht stetig ist, heißt $\begin{eqnarray*} (\alpha_n)\mapsto(\tfrac1n\alpha_n) \end{eqnarray*}$ auch nicht stetig invertierbar.

Und dann muss man sich noch überlegen, dass tatsächlich in jeder Umgebung dieses Operators ein nicht bijektiver liegt.

29.03.2014, 12:33

Wombat91

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RE: Funktionalanalysis, lineare, stetige Operatoren
Ah ja, ok. Alles klar. Vielen herzlichen Dank, ich habe vergessen, dass ja stetige Operatoren immer beschränkt sind und umgekehrt und das ist ja hier nicht der Fall beim Inversen. Besten Dank! smile

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