log Gleichung lösen

26.03.2014, 22:37

bernado

log Gleichung lösen

Hallo,

hier kann mir bestimmt jemand weiterhelfen.

Gegeben:

$\begin{eqnarray*} (49\sqrt{7})^{x} = 49 \end{eqnarray*}$

Musterlösung:

$\begin{eqnarray*} x= \frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

Meine Teillösung:

$\begin{eqnarray*} \log_b 7^2 = x b = 7^{2} * \sqrt{7} \end{eqnarray*}$

b ist die Basis. Ich hoffe, ich hab das ganze verständlich dargestellt. Ich hab das nicht anderst mit Latex hinbekommen.

Wie und nach welchen Regeln wird die Gleichung weiter aufgelöst?

Vielen Dank

26.03.2014, 22:50

Equester

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Hmm,
also zu Beginn -> Mit Exponentenvergleich wärst du hier schnell und einfach fertig Augenzwinkern

.
Können wir gleich mal versuchen, wenn du willst.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \log_b 7^2 = x b = 7^{2} * \sqrt{7} \end{eqnarray*}$

Damit kann ich nicht allzu viel anfangen? Wie komsmt du drauf? Wo hast du das her?
Mit Logarithmus kann man natürlich arbeiten. Wie würde da dein erster Schritt aussehen?

27.03.2014, 09:05

Fazer

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Das "b" ist die Basis aus der Anfangsgleichung.

$\begin{eqnarray*} B^{x}=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x*log(B)=log(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{log(y)}{log(B)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=log_{B}(y) \end{eqnarray*}$

Wink

27.03.2014, 14:57

pennystoxx

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Mit genauem hinschauen bist du besser bedient glaube ich:

$\begin{eqnarray*} (49*7^{0,5})^x=49 \end{eqnarray*}$

***Komplettlösung entfernt***

Equester

27.03.2014, 15:06

Equester

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@pennystoxx:

Das wurde von mir schon angesprochen. Du kannst das gerne mit dem Fragsteller (falls er sich je nochmals melden sollte) weiter ausführen. Aber im Sinne von Tipps geben und keine Kompllettlösung. Diese widersprechen dem Prinzip.

Wink

27.03.2014, 22:12

bernado

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Zitat:

Original von Fazer
Das "b" ist die Basis aus der Anfangsgleichung.

$\begin{eqnarray*} B^{x}=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x*log(B)=log(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{log(y)}{log(B)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=log_{B}(y) \end{eqnarray*}$

Wink

Danke für die Ergänzung. So bin ich darauf gekommen.
Ich arbeite hier mit log, da ich gerade im Kapitel "Logarithmische Funktionen" bin Big Laugh

Und ich komme einfach nicht an meinem oben angegebenen Punkt weiter.

27.03.2014, 22:38

Equester

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Wenn du erlaubst würde ich dich mal von diesem Weg abbringen wollen. Meiner Ansicht nach wird das deutlich zu kompliziert, wo es weit einfacher geht.

$\begin{eqnarray*} (49\sqrt{7})^{x} = 49 \end{eqnarray*}$

Wende hier direkt den Logarithmus an. Und zwar zur Basis 10 oder zur Basis e (je nach dem was bei euch geläufiger ist). Wenn du dich rühmen kannst auch gut etwas zu sehen, kannst du auch die Basis 7 wählen, ist aber unnötig und klappt nicht immer so sinnvoll wie hier Augenzwinkern

28.03.2014, 09:20

bernado

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Vielen Dank.
Der Lösungsweg ist wirklich um Welten simpler und leichter.

$\begin{eqnarray*} (49*\sqrt{7})^{x} = 49 (7^{2}*7^{0,5})^{x} = 7^{2} log((7^{2}*7^{0,5})^{x}) = log(7^{2}) x*log((7^{2}*7^{0,5})) = 2*log(7) x*log(7^{\frac{5}{2} }) = 2*log(7) \frac{5}{2}*x*log(7) = 2*log(7) |:log(7) \frac{5}{2}*x = 2 x=\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

Manchmal sieht man halt den Wald voll lauter Bäumen nicht.

28.03.2014, 09:48

Equester

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Ich würde sagen: Mit Bravour gelöst. Sehr gut Freude

.

Nun nochmals den von penny und mir angesprochenen Exponentenvergleich. Dieser funktioniert, sobald eine gleiche Basis vorliegt.

Du hast als in Exponentenform stehen:

$\begin{eqnarray*} 7^{\frac52x} = 7^2 \end{eqnarray*}$

Der Exponent muss nun identisch sein, da die Basis schon diesselbe ist.
Damit vereinfacht sich das Problem zu:

$\begin{eqnarray*} \frac52x = 2 \end{eqnarray*}$

Wink

28.03.2014, 09:53

bernado

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Alles klar. Diese Lösung ist schön und kurz.

Vielen Dank

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