Wahrscheinlichkeit bestimmter Folge nach n Zufallsereignissen, Wahrscheinlichkeit aller Folgen

27.03.2014, 09:22	CryoX	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit bestimmter Folge nach n Zufallsereignissen, Wahrscheinlichkeit aller Folgen Hallo, Ich bräuche eure Hilfe für 2 Wahrscheinlichkeiten: Ausgagnssituation: Bestimmte, zufällige Bit-Folge der Länge n. 1.) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Bit-Folge der Länge m darin zu finden 2.) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit alle möglichen Bit-Folgen der Länge m darin zu finden (jeweils m < n) Außerdem würde mich noch folgendes interssieren: 3.) Wie verändern sich die Wahrscheinlichkeiten von 1 und 2, wenn die Bit-Folge der Länge m auch in umgekehrter Reihenfolge auftreten darf. (Falls man das mathematisch ausdrücken kann) Danke schon mal im Voraus für eure Hilfe ;-) Lg
27.03.2014, 09:48	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit bestimmter Folge nach n Zufallsereignissen, Wahrscheinlichkeit aller Folgen Welche eigenen Ansätze hast du denn?
27.03.2014, 11:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwieriges Thema, vor allem wegen der Überlappungen... Sei $\begin{eqnarray} b=b_1b_2\ldots b_m \end{eqnarray}$ die bestimmte Bitfolge der Länge $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ , deren Auftreten gesucht ist, sowie $\begin{eqnarray} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray}$ die zufällige Bitfolge. Dann kann man das Ereignis $\begin{eqnarray} A_k = \bigcap_{j=1}^m [X_{k+j-1}=b_j] \end{eqnarray}$ ... die Bitfolge ist beginnend mit Position $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ zu beobachten betrachten, und bei 1) ist dann $\begin{eqnarray} P(B_n) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} B_n:=\left( \bigcup_{k=1}^{n-m+1} A_k \right) \end{eqnarray}$ gesucht. Für $\begin{eqnarray} m=1 \end{eqnarray}$ ist das ganze trivial, bereits bei $\begin{eqnarray} m=2 \end{eqnarray}$ beginnen die Schwierigkeiten mit der Überlappung, wobei sich herausstellt, dass $\begin{eqnarray} P(B_n) \end{eqnarray}$ nicht nur von $\begin{eqnarray} n,m \end{eqnarray}$ , sondern von der konkreten Gestalt der Bitfolge abhängt!!! 1) Nehmen wir etwa $\begin{eqnarray} m=2,b_1=b_2=0 \end{eqnarray}$ und definieren $\begin{eqnarray} p_{n} := P(B_n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q_{n,0} := P(B_n^c\cap [X_n=0]) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q_{n,1} := P(B_n^c\cap [X_n=1]) \end{eqnarray}$ Dann haben wir für $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ die Rekursion $\begin{eqnarray} p_{n+1} = p_n + \frac{q_{n,0}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q_{n+1,0} = \frac{q_{n,1}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q_{n+1,1} = \frac{q_{n,0}+q_{n,1}}{2} \end{eqnarray}$ mit Startwerten $\begin{eqnarray} p_1 = 0,q_{1,0} = q_{1,1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ vorliegen. 2) Nehmen wir andererseits $\begin{eqnarray} m=2,b_1=0,b_2=1 \end{eqnarray}$ und definieren $\begin{eqnarray} p_{n},q_{n,0},q_{n,1} \end{eqnarray}$ wie eben unter 1) und auch mit denselben Startwerten, dann haben wir aber eine andere Rekursion vorliegen: $\begin{eqnarray} p_{n+1} = p_n + \frac{q_{n,0}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q_{n+1,0} = \frac{q_{n,0}+q_{n,1}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q_{n+1,1} = \frac{q_{n,1}}{2} \end{eqnarray}$ Bereits ab n=3 führt das zu unterschiedlichen Werten bei $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ : Die Bitfolge 01 hier ist wahrscheinlicher als Bitfolge 00 bei gleichem $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ !!! Für $\begin{eqnarray} m\geq 3 \end{eqnarray}$ wird die Sache dann zunehmend unübersichtlicher. EDIT: Ergänzend noch die expliziten Darstellungen für obiges m=2: 1) Bitmuster 00 (und auch 11): $\begin{eqnarray} p_n = 1 - \frac{F_{n+2}}{2^n} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} (F_n) \end{eqnarray}$ die Fibonacci-Folge ist. 2) Bitmuster 01 (und auch 10): $\begin{eqnarray} p_n = 1 - \frac{n+1}{2^n} \end{eqnarray}$ . EDIT2: Ein wenig unentschlossen, unser Fragesteller: War da, schrieb lange am Beitrag, aber hat ihn nicht abgeschickt - nur Mut.

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