Untergruppe von (Z/6Z) x (Z/6Z)

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pittersen Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppe von (Z/6Z) x (Z/6Z)
Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Frage zur additiven Gruppe (Z/6Z) x (Z/6Z).
Ich möchte alle Untergruppen der Ordnung 12 bestimmen. Zwei habe ich bereits gefunden.
Kann mir jemand helfen, die restlichen zu finden? oder nen Tipp geben?

Meine Ideen:
Gefunden habe ich die beiden offensichtlichen Untergruppen
{0,3} x (Z/6Z) und
(Z/6Z) x {0,3}.
Beide haben offensichtlich Ordnung 12. Ich vermute, dass es insgesamt (mindestens) 4 Untergruppen der Ordnung 12 geben muss. Ich vermute das, weil (Z/6Z) x (Z/6Z) die Galoisgruppe des Körpers der 63ten Einheitswurzeln ist. In diesem Körper habe ich 4 Zwischenkörper gefunden, die jeweils Grad 3 über Q haben. Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie muss es also auch 4 Untergruppen vom Index 3 geben. Index 3 bedeutet in diesem Fall Ordnung 12, da die Ordnung von (Z/6Z)x (Z/6Z) ja 36 ist. Und 36/3=12 Augenzwinkern
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe von (Z/6Z) x (Z/6Z)
hallo,
habe länger darüber nachgedacht. Bist du dir überhaupt sicher, dass es hier
noch 2 weitere untergruppen gibt?
Das problem ist nämlich, das hier immer komponentenweise addiert wird, und
bei untergruppen der ordnung 12 gibt es ja nur die aufteilung 12=2*6
(das sind ja die beiden untergruppen, die du gefunden hast) und 12=3*4,
und eine untergruppe von Z/6Z kann ja nicht die ordnung 4 haben, da
sehe ich ein problen... verwirrt
gruss ollie3
pittersen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe von (Z/6Z) x (Z/6Z)
hi ollie, da bist du ja wieder smile

die überlegungen, die du gemacht hast, hatte ich zuerst auch gemacht. Ich bin total verwirrt. Einerseits hört sich das was du sagst plausibel an; scheint aber wohl nicht als Begründung auszureichen. Auch mein Professor ist der Meinung, dass es mindestens 4 Untergruppen gibt. Ich werd noch wahnsinnig!
Ich habe eben auch mehr als zwei Grad 3 Erweiterungen über Q im Körper der 63ten wurzel gefunden, was auch für mehr Untergruppen spricht.
So schwer kann das doch nicht sein! Ich komm mir vor wie der letzte Depp.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe von (Z/6Z) x (Z/6Z)
hallo,
ich hätte noch einen "rettungsversuch" Augenzwinkern
Jede gruppe wird ja von einen oder mehreren elementen erzeugt, und vielleicht
könnte man auf diesem weg zu den fehlenden untergruppen kommen.
(1,1) erzeugt z.B. die gruppe {(1,1), (2,2) ,,(0,0)}, die hätte aber nur 6 elemente..
gruss ollie3
jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe von (Z/6Z) x (Z/6Z)
Zitat:
Original von pittersen
Auch mein Professor ist der Meinung, dass es mindestens 4 Untergruppen gibt.


Eine Meinungsfrage ist das nicht. Seien die zwei offensichtlichen Erzeuger von . Dann sind die vier Untergruppen von Ordnung 12 gegeben durch , , , .
pittersen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe von (Z/6Z) x (Z/6Z)
Ja, mir ist klar, dass Meinungen in der Mathematik nicht viel "Wert" haben Big Laugh
Bisschen schlecht formuliert.
Vielen Dank für deine Hilfe jester!! Hast mir sehr geholfen Freude

Ps: Hast du die Antwort direkt "gesehen" oder hast du eine bestimmte Technik verwendet? Wäre cool, wenn du mir das noch sagen könntest. Ich will ja was lernen smile
 
 
pittersen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich hab vorhin einfach geantwortet, ohne mir über dein Ergebnis Gedanken zu machen. Mir ist gerade aufgefallen, dass ich es überhaupt nicht verstehe.
Was soll denn <xy,x^3> sein?
Ich weiß nicht was du mit dem Ausdruck xy meinst. Wie soll das im konkreten Fall der additiven Gruppe Z/6Z x Z/6Z aussehen? Ich verstehe es nicht unglücklich

Gruß pittersen!
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo pittersen,
ich habe jesters antwort vollständig verstanden und kann dir alles erklären Augenzwinkern
Jester hat die gruppen übrigens multiplikativ geschrieben, vielleicht kommst
du deswegen durcheinander.
Also, die erzeugenden elemente von Z/6Z x Z/6Z sind natürlich (1,0) und (0,1)
jester hat sie x und y genannt. Dann ist z.B xy=(1,1) und x^3=(3,0), und
tatsächlich kann man mit diesen beiden elementen eine untergruppe der
ordnung 12 erzeugen. Wenn du noch weitere fragen hast gerne...
gruss ollie3
pittersen Auf diesen Beitrag antworten »

hi ollie! ja, danke. ich habs dann doch noch gerafft was er meint smile
wenn ich folgende Gruppe betrachte:<(xy,y^3)> = <(1,1),(0,3)> komme ich auf
<(1,1),(0,3)>={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (0,0), (0,3), (1,4), (2,5), (3,0), (4,1), (5,2)}.

wenn ich die Gruppe <(xy,x^3)> = <(1,1),(3,0)> betrachte, erhalte ich
<(1,1),(3,0)>={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (0,0), (3,0), (4,1), (5,2), (3,0), (1,4), (2,5)},
was DIESELBE Gruppe wie oben ist!

Wir haben daher erst DREI Untergruppen der Ordnung 12 gefunden. und weiter geht die suche....

dann heute morgen um 6 beim tanzen ist folgendes passiert... grad einen geraucht und wieder so die welt auf mich wirken lassen. ich steh vor der bar und die barleute haben irgendwie nen haufen verschiedene getränke in den händen und tauschen die irgenwie miteinander, weiß auch nicht mehr genau wie, war verrückt. jedenfalls dachte ich: hä? was war das für eine symmetrie da eben gewesen und wurd direkt an diese zwischenkörper erinnert und dann war quasi das element (xy^5) in meinem kopf.
betrachtet man jetzt die gruppe <xy^5, x^3> so bekommt man eine neue untergruppe der ordnung 12.
Tatsächlich ist <xy^5, x^3>=<xy^5, y^3>=<x^5y, x^3>=<x^5y, y^3>=
{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (0,0), (3,0), (2,1), (1,2), (4,5), (5,4), (0,3)}.

das ist die VIERTE Untergruppe.
Jester und du haben im prinzip die richtige idee gehabt, aber nicht ganz zu ende gedacht. es beruht wirklich darauf ALLE Elemente der Ordnung 6 bzw 2 zu finden und alle kombinationsmöglichkeiten auszuprobieren. Irgendwie klar eigentlich, aber so ist das mit dem Wald und den Bäumen.. Hammer

Das coole war, dass ich heute morgen wirklich die Korrespondenz zwischen den Untergruppen und den Zwischenkörpern SEHEN konnte. Sowas ist mir jetz schon öfter passiert, dass ich durch Marihuana plötzlich abstrakte Dinge irgendwie bildlich vor mir hatte und dadurch alles ganz einfach und klar wurde. leider funktioniert das nicht immer hahaha! Das ist der Grund, warum ich Mathematik mag, der Moment in dem es KLICK macht im Kopf und man denkt: ach soooo!
ich muss nicht die goldbachvermutung zeigen; mir reichen auch schon so kleine Minierfolge wie das hier smile das macht mich immer irgendwie froh! Sorry für den langen Text, bin noch bisschen vertrahlt
Big Laugh Also, schönes Wochenende und vielen Dank ihr zwei!

Gruß Pittersen!
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