komplexes Integral

27.03.2014, 15:33	Geofunk	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexes Integral Hi liebes Forum, ich sitzte gerade an einer Aufgabe und kann den Lösungsweg leider nicht nachvollziehen. Ich hab die Aufgabe mal samt Lösungsweg angehängt: [attach]33746[/attach] Den Schritt den ich nicht verstehe ist in der vorletzten Zeile. Ich denke es wurde die Cauchyintegralformel verwendet daher auch die 2pi und die -1 durch die mathematisch negative Umlaufrichtung. Wie kommt man allerdings auf die Brüche? Beim letzten Summanden kann ich es mir noch erklären, da wurde die Cauchy Integralformel angewendet. $\begin{eqnarray} \int_\gamma \! \frac{f(z)}{z-z_1 } \, dz = N_\gamma(z_0) f(z_0) 2\pi i \text{ und } z_1 = 0 \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{1+z^3}{1+z^2} \text{ und } z_0 = 0 \end{eqnarray}$ Bei den zwei Summanden davor müsste es ja eigentlich so ähnlich sein, nur das dann $\begin{eqnarray} Z_0 = -i \text{ bzw } z_0 = +i \end{eqnarray}$ sein müsste oder? Aber das stimmt dann nicht mit derm Lösungsweg überein Könnt ihr mir bitte helfen? Mfg Geofunk
28.03.2014, 13:20	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexes Integral $\begin{eqnarray} \frac{1+z^3}{z(z^2+1)} = \frac{1+z^3}{z(z+i)(z-i)} = \frac{\frac{1+z^3}{z(z+i)}}{z-i} \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} \oint_{\partial D_\epsilon (i)} \frac{1+z^3}{z(z^2+1)} = 2\pi i\frac{1+i^3}{i(i+i)} \end{eqnarray}$ (auch nach CIF), die (-1) in der lösung kommt, da der integrationsweg negativ orientiert ist. für -i analog. der lösungsweg scheint also in ordnung. was würdest du denn anders machen? lg

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