Winkel Vektor Ebene

27.03.2014, 20:13	mathfish	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel Vektor Ebene Hallo Leute, ich bin grade doof. Ich weiß, dieses Problem ist in ähnlicher Weise hier bereits besprochen worden, nur konnten mir die Antworten bisher leider nicht weiterhelfen. Ich habe einen Vektor $\begin{eqnarray} v = (x y z)^T \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} \|v\|=1 \end{eqnarray}$ . Ich möchte den Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und dessen Projektion $\begin{eqnarray} v_{xy} \end{eqnarray}$ in die xy-Ebene eines rechtshändigen karthesischen Koordinatensystems bestimmen. Meiner Ansicht gelten also folgenden Zusammenhänge: $\begin{eqnarray} v_{xy}=(x y 0)^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{yz}=(0 y z)^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_y = (0 y 0)^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_z = (0 0 z)^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e_y = (0 1 0)^T \end{eqnarray}$ Als Ansatz zur Winkelbestimmung wähle ich die Definition des Skalarproduktes. Somit ergeben sich zwei Varianten der Winkelbestimmung, welche - und hier liegt das Problem - bei mir zu verschiedenen Ergebnissen führen: $\begin{eqnarray} \alpha_1 = \text{acos}(\frac{v_y \cdot v_{yz}}{\|v_y\| \|v_{yz}\|} )=\text{acos}(\frac{v_{yz}}{\|v_{yz}\|} \cdot e_y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha_2 = \text{acos}(\frac{v \cdot v_{xy}}{\|v\| \|v_{xy}\|} )=\text{acos}(\frac{v \cdot v_{xy}}{\|v_{xy}\|}) \end{eqnarray}$ . wo liegt hier mein Denkfehler? Vielen Dank schon einmal für eure Hilfe!
27.03.2014, 20:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz klar ist nur die Version 2 richtig. In Version 1 wird der Winkel der Projektion von v auf die yz-Ebene mit der y-Achse bestimmt und dieser ist NICHT gleich dem gesuchten Winkel mit der xy-Ebene. mY+
27.03.2014, 21:11	mathfish	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi und danke für deine schnelle Antwort. Irgendwie ist mir das jedoch immer noch nicht ganz klar. Ich verstehe noch nicht, warum die Projektion von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ in die yz-Ebene bei gleichzeitiger Projektion von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ auf die y-Achse nicht die identische Situation widerspiegelt. Ebenso frage ich mich warum ich nicht einfach $\begin{eqnarray} \text{atan}(z/y) \end{eqnarray}$ rechnen kann. Oh je
27.03.2014, 21:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die beiden Situationen sind deswegen nicht identisch, weil in Version 1 noch der Winkel von v gegen die yz-Ebene mitspielt. Der Winkel (v_xy, v) ändert sich infolge der Verzerrung, wenn man ihn auf die yz-Ebene projiziert. Aus demselben Grund kannst du auch nicht auf dem atan(z/y)-Weg rechnen. mY+
01.04.2014, 15:05	mathfish	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, habs nachvollziehen können. Vielen Dank nochmal!

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