Integrieren von 1/x

28.03.2014, 21:02

Bonheur

Integrieren von 1/x

Vor langer Zeit hatte ich etwas ähnliches gefragt, aber mein Lehrer behauptet, dass es kein Beweis wäre und dass man so nicht integrieren kann.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=e^{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz}=e^{z} \Rightarrow dx=e^{z} \cdot dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{e^{z}}~e^{z} \cdot dz=z +C=ln(x)+C \end{eqnarray*}$

Vielen Dank

28.03.2014, 21:25

10001000Nick1

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Wenn er tatsächlich gesagt hat, dass das so nicht geht, dann würde ich sagen, dass dein Lehrer keine Ahnung von Integration durch Substitution hat. Augenzwinkern

Dieser Lösungsweg ist so jedenfalls richtig.

28.03.2014, 21:30

Bonheur

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Vielen Dank, ich versuche am Montag nochmal mit ihm darüber zu reden.

28.03.2014, 21:38

10001000Nick1

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Man müsste nur noch dazusagen, dass deine Substitution nur für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ klappt wegen $\begin{eqnarray*} e^z>0. \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ substituiere einfach $\begin{eqnarray*} x=-e^z, \end{eqnarray*}$ und dann kommt man auf $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x}~dx=\ln(-x)+C. \end{eqnarray*}$

Insgesamt ergibt das dann eine Stammfunktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x}~dx=\ln|x|+C. \end{eqnarray*}$

Andersrum kann man auch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist:

Es gilt ja $\begin{eqnarray*} x=e^{\ln|x|}. \end{eqnarray*}$ Beide Seiten nach x differenzieren ergibt (Kettenregel): $\begin{eqnarray*} 1=e^{\ln|x|}\cdot \frac{d}{dx}\ln|x|=x\cdot \frac{d}{dx}\ln|x|. \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}. \end{eqnarray*}$

28.03.2014, 21:45

Bonheur

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Verstehe.

Vielen Dank.

Mein Lehrer kann sich auf was gefasst machen. Big Laugh

28.03.2014, 21:52

Count von Count

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RE: Integrieren von 1/x
Hallo Bonheur,

ich kann mich Nicks Meinung zu Deinem Lehrer nur anschließen (würde es nur nicht so drastisch formulieren).

Dein Rechenweg ist einwandfrei und außerdem auch noch elegant.

Ich hoffe für Deinen Mathelehrer, daß der einen schlechten Tag hatte (soll ja vorkommen). Frag ihn doch einfach mal, wie er das Integral lösen würde, vielleicht kennt er einen noch eleganteren Weg (mir würde jedenfalls kein besserer einfallen).

Laß Dir den Spaß an der Mathematik nicht verderben, man kann sich seine Lehrer halt normalerweise nicht aussuchen.

@Nick
Verzeihung bitte, daß ich dazwischen galabert habe. Bin auch schon wieder weg.

28.03.2014, 22:08

Bonheur

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Vielen Dank euch beiden. smile

Er hat bloß beim Ableiten erwähnt, dass wenn man ln(x) ableiten möchte, man die Umkehrfunktion nimmt und dann nach so einer bestimmten Regel ableitet, aber zum Integrieren, hat er nichts erwähnt.

28.03.2014, 22:43

Iorek

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Insgesamt ergibt das dann eine Stammfunktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x}~dx=\ln|x|+C. \end{eqnarray*}$

Ob das wirklich auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ so ist? Augenzwinkern

28.03.2014, 23:31

10001000Nick1

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Hab's editiert. smile

29.03.2014, 00:58

Helferlein

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Es gilt ja $\begin{eqnarray*} x=e^{\ln|x|}. \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} -1=e^{\ln 1}=1 \end{eqnarray*}$ ? Die Begründung gilt leider auch nur für positive x.

29.03.2014, 09:26

10001000Nick1

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War wohl gestern wirklich schon zu spät zum Antworten.
Naja, für negatives x geht's ähnlich.

Oder man macht's so:
$\begin{eqnarray*} |x|=e^{\ln|x|}\Rightarrow \frac{|x|}{x}=e^{\ln|x|}\cdot \frac{d}{dx}\ln|x|=|x|\cdot \frac{d}{dx}\ln|x|\Rightarrow \frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

So, das müsste jetzt aber wirklich für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ stimmen. Oder habe ich wieder was übersehen?

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