Differentialgleichung

29.03.2014, 02:33

kenobi

Differentialgleichung

hi,
möchte diese differentialgleichung lösen.
eine nullstelle ist schon gegeben $\begin{eqnarray*} k_1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'''-3y''+3y'-y=0 \end{eqnarray*}$

habe diese nullstellen durch polynomdivision erhalten
$\begin{eqnarray*} k_{123}=1 \end{eqnarray*}$

nun weiß ich nicht wie man die allgemeine lösungsform aufstellt habe dies gefunden aber verstehe es nicht

Mehrfache Lösungen
de.wikipedia.org/wiki/Charakteristische_Gleichung

$\begin{eqnarray*} y_1(x)=e^{1x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2(x)=x*e^{1x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_m(x)= x^{m-1}*e^{kx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_3(x)= x^{3-1}*e^{1x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_3(x)= x^2*e^{1x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= y_1(x)+ y_2(x)+y_3(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=e^{x}+ x*e^{x}+x^2*e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=e^{x}*(1+ x+x^2) \end{eqnarray*}$

muss man da noch ein paar C rein bauen ?

$\begin{eqnarray*} y=e^{x}*(C_1*1+ C_2*x+C_3*x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=e^{x}*(C_1+ C_2*x+C_3*x^2) \end{eqnarray*}$

habe keine ahnung ob das richtig ist.

29.03.2014, 04:40

Kasen75

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RE: Differentialgleichung

Zitat:

Original von kenobi
hi,
möchte diese differentialgleichung lösen.

$\begin{eqnarray*} y=e^{x}*(C_1+ C_2*x+C_3*x^2) \end{eqnarray*}$

habe keine ahnung ob das richtig ist.

Hallo,

die Lösung ist richtig. Die Konstanten müssen auch bei mehrfachen Lösungen dabei sein. In dem Wiki-Artikel steht es bei den einfachen Lösungen explizit drin. Da kann man auf den Fall der mehrfachen Lösungen übertragen.

Grüße.

29.03.2014, 14:38

kenobi

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$\begin{eqnarray*} y=C_1(x)*e^{x}+ C_2(x)*x*e^{x}+C_3(x)*x^2*e^{x} \end{eqnarray*}$

ich wollte jetzt y',y'' und y''' bestimmen um C1(x),C2(x) und C3(x) zu erhalten.
gibt es da noch einen schnelleren weg ?

29.03.2014, 14:52

Kasen75

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Zitat:

Original von kenobi
$\begin{eqnarray*} y=C_1(x)*e^{x}+ C_2(x)*x*e^{x}+C_3(x)*x^2*e^{x} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht richtig, da die Konstanten unabhängig von x sind. Was du zuletzt gepostet hattest war richtig.
$\begin{eqnarray*} y=e^{x}*(C_1+ C_2*x+C_3*x^2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von kenobi
ich wollte jetzt y',y'' und y''' bestimmen um C1,C2 und C3 zu erhalten.
gibt es da noch einen schnelleren weg ?

(x) bei den Konstanten jeweils entfernt.

Um $\begin{eqnarray*} C_1, C_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_3 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, brauchst du 3 Bedingungen. Diese hast du hier aber nicht gegeben. Dazu solltest du dir eine Aufgabe heraussuchen, bei der die entsprechenden Bedingungen gegeben sind.

29.03.2014, 15:02

kenobi

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warum darf man hier die konstanten unabhängig von x machen ?

$\begin{eqnarray*} y''-y=x+1 \end{eqnarray*}$

29.03.2014, 15:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von kenobi
warum darf man hier die konstanten unabhängig von x machen ?

$\begin{eqnarray*} y''-y=x+1 \end{eqnarray*}$

Du redest von der Lösung der zugehörigen homogenen DGL? Deren charakteristische Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda^2-1 = 0 \end{eqnarray*}$

hat keine Mehrfachlösungen, sondern nur zwei einfache - insofern besteht keine Analogie zur DGL im Eröffnungsbeitrag. unglücklich

29.03.2014, 15:21

Kasen75

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Hier hast du eine inhomogene DGL.
Diese Lösung besteht aus einer homogenen und einer speziellen Lösung. Hier ist die Herangehensweise eine andere. Aber auch hier sind die Konstanten der homogenen Lösung nicht von x abhängig.

29.03.2014, 15:31

kenobi

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ja das ist eine andere aufgabe

youtube.com/watch?v=DEUY6dUvS2M

bei 7:30

verstehe nicht warum das dort geht und bei meiner aufgabe nicht.

29.03.2014, 15:59

kenobi

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ich würde jetzt gerne mal zum verständnis und zur übung mit euch diese aufgabe lösen:

$\begin{eqnarray*} y''-y=x+1 \end{eqnarray*}$

29.03.2014, 16:37

Kasen75

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Ich würde so vorgehen, dass ich erst einmal die homogene DGL lösen würde:

y''+y=0

Danach kann man den Ansatz vom Typ der rechten Seite verwenden.

Dazu muss man dann $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ (inhomogene Lösung) zweimal ableiten.

30.03.2014, 16:46

kenobi

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danke für die antwort.
muss erstmal etwas stoff nacharbeiten bis ich dir antworten kann :/

30.03.2014, 21:13

Kasen75

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Wenn bei der Nacharbeit Fragen aufkommen, kannst du sie hier posten.

Ist die Frage umfangreicher und hat nur am Rande mit dem Thema zu tun, dann bitte in einem neuen Thema.

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