Beweis für eine Summe

29.03.2014, 19:28

Matthias1547

Beweis für eine Summe

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich suche aktuell einen Beweis, dass für n>2 folgende Summe immer 0 ergibt.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \cos\left[2*(\alpha +360°/n*(i-1)) \right] \end{eqnarray*}$

Alpha ist ein beliebiger Winkel.

Meine Ideen:
Ich habe bisher verschiedene Ansätze verfolgt, diese jedoch vielleicht nur nicht zu Ende gedacht (bzw. zu Ende denken können). Einige wären: Vollständige Induktion, Winkelfunktion als komplexe e-Fkt darstellen, Winkelfunktionen als Taylorreihe, Verwendung verschiedener Addionstheoreme
Eine mögliche Umformung, die mich bisher aber auch nicht weitergebracht hat, ist:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \cos\left[2*(\alpha +360°/n*(i-1)) \right]=\cos(2*\alpha)*\sum\limits_{i=1}^n \cos\left[ 720°/n*i) \right] +\sin(2*\alpha)*\sum\limits_{i=1}^n \sin\left[ 720°/n*i) \right] \end{eqnarray*}$

Vielleicht hat ja jemand eine Idee.
Vielen Dank schon mal und viele Grüße!

30.03.2014, 09:59

Grautvornix

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RE: Beweis für eine Summe
Du brauchst nur die Eulerschen Formel und die geometrische Summenformel, um die Behauptung zu beweisen.

Setze zunächst mal: $\begin{eqnarray*} q_n:=e^{i\frac{2\pi}n}. \end{eqnarray*}$

Dann gilt offenbar: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}q^k=0\text{ für alle }n>2. \end{eqnarray*}$

Und daraus folgt dann schließlich auch die Behauptung.

31.03.2014, 23:15

Matthias1547

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RE: Beweis für eine Summe
Hallo Grautvornix,

danke erst Mal für deine Hilfe.

Angenommen ich verwende deine Formel für n=3, dann komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} e^{\frac{i\cdot 2\pi }{n}\cdot k } =e^{\frac{i\cdot 2\pi }{3}\cdot 0 }+e^{\frac{i\cdot 2\pi }{3}\cdot 1 }+e^{\frac{i\cdot 2\pi }{3}\cdot 2 }=1+(-1)^\frac{2}{3} +(-1)^\frac{4}{3}=1+(-0,5+0,866i)+(-0,5-0,866i) = 0 \end{eqnarray*}$

Ich habe aber nicht verstanden, warum ich einfach diese e-Funktion verwenden kann?
Eigentlich ist der Kosinus ja definiert als:

$\begin{eqnarray*} \cos(x) = \frac{e^{i\cdot x }+e^{-i\cdot x }}{2} \end{eqnarray*}$

Außerdem weiß ich nicht, wie ich begründen kann, dass es nur für n>2 gilt.

01.04.2014, 10:59

klarsoweit

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RE: Beweis für eine Summe

Zitat:

Original von Matthias1547
Eine mögliche Umformung, die mich bisher aber auch nicht weitergebracht hat, ist:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \cos\left[2*(\alpha +360°/n*(i-1)) \right]=\cos(2*\alpha)*\sum\limits_{i=1}^n \cos\left[ 720°/n*i) \right] +\sin(2*\alpha)*\sum\limits_{i=1}^n \sin\left[ 720°/n*i) \right] \end{eqnarray*}$

Ich würde erstmal die Gradmaße in Bogenmaß angeben und das Additionstheorem richtig anwenden:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \cos\left[2*(\alpha +360°/n*(i-1)) \right] = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \cos\left[2*(\alpha + \frac{2 \pi}{n}*k) \right]<br /> = \cos(2*\alpha) \cdot \sum\limits_{k=0}^{n-1} \cos\left[\frac{4 \pi}{n}*k \right] - \sin(2*\alpha) \cdot \sum\limits_{k=0}^{n-1} \sin\left[\frac{4 \pi}{n}*k \right] \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du auf cos und sin die Eulersche Formel anwenden.

EDIT: das würde für mich eher in den Hochschulbereich passen.

01.04.2014, 11:09

Grautvornix

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RE: Beweis für eine Summe
Es gilt ja (Eulersche Formel):

$\begin{eqnarray*} q_n:=e^{i\frac{2\pi}n}=\cos\left(\frac{2\pi}n\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}n\right). \end{eqnarray*}$

Nun betrachte die Summe (geom. Summenformel!)

$\begin{eqnarray*} S_n:=\sum_{k=0}^{n-1}q_n^k=\frac{q_n^n-1}{q_n-1}. \end{eqnarray*}$

Der Bruch auf der rechten Seite verschwindet sogar für alle $\begin{eqnarray*} n>1. \end{eqnarray*}$

Offenbar ist: $\begin{eqnarray*} S_1=1. \end{eqnarray*}$

Also gilt insbesondere für den Realteil obiger Summe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}\cos\left(\frac{2k\pi}n\right)=0\text{ für alle }n>1. \end{eqnarray*}$

Für deinen Beweis kannst Du nun analoge Überlegungen an der Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}e^{i\left(2\alpha+\frac{4\pi k}n\right)} \end{eqnarray*}$

durchführen.

01.04.2014, 14:38

Matthias1547

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Unter Verwendung der umgeformten Summenformel (@klarsoweit: Richtig, da war ich wohl etwas voreilig, was die +/- Regelung anging) kann ich ja separat beweisen, dass die Summen von Sinus und Kosinus 0 ergeben.
Ich hab meine Rechnung mal als Bild angehängt, da ich mit Latex nicht so fit bin.

[attach]33801[/attach]

Der letzte Term ist für n<3 nicht definiert, da er 0/0 ergibt. Ab n>2 entstehen im Nenner Imaginärteile, er ist somit ungleich 0. Die Summe ist also für n>2 gleich Null. Da es für die e-Funktion gilt, muss es auch für sowohl den Sinus als auch den Kosinus gelten.
Ist das soweit richtig? Damit sollte ich ja meinen Beweis haben.

Viel Dank für eure Hilfe!

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