Alternierende unendliche Reihe, Monotonie bestimmen

29.03.2014, 21:38

_Lilly_

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Alternierende unendliche Reihe, Monotonie bestimmen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabenstellung:

Überprüfen Sie folgende Reihe auf ihr Konvergenzverhalten:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n} \cdot \frac{\sqrt{n^{3}+2n}}{n^{2}+1 } <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei alternierenden Reihen verwendet man ja das Leibniz-Kriterium.

Ich habe auch schon bewiesen, dass der Absolutbetrag | $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n^{3}+2n}}{n^{2}+1 } \end{eqnarray*}$ | eine Nullfolge ist.

Aber jetzt weiß ich leider nicht, wie ich beweisen kann dass die Folge auch monoton fallend ist.

Vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen?

Danke schon mal!

29.03.2014, 21:40

Iorek

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So wie man es üblicherweise auch macht: überprüfe ob $\begin{eqnarray*} a_n\geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ gilt.

29.03.2014, 22:22

_Lilly_

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Ich habe es jetzt so probiert. Aber ich glaube eher nicht, dass das so richtig ist.

Was mache ich falsch??

[attach]33767[/attach]

29.03.2014, 22:27

Iorek

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Du kannst doch nicht einfach zwischendrin mal eben für ein paar Ausdrücke den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ bilden. geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n^3+2n}}{n^2+1}\geq \frac{\sqrt{(n+1)^3+2(n+1)}}{(n+1)^2+1} \end{eqnarray*}$ , wie könnte man zunächst die Wurzeln entfernen?

29.03.2014, 22:34

_Lilly_

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Ich könnte auf beiden Seiten quadrieren oder?

29.03.2014, 22:38

Iorek

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Sofern du begründen kannst, wieso das in diesem Fall eine Äquivalenzumformung ist, ja. Danach sollte sich das recht einfach auflösen lassen.

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29.03.2014, 23:38

_Lilly_

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Danke, ich glaube jetzt passts! smile

smile

Ich bekomme als Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} <br /> (n^{3}+2n) - (n^{3}+3n^{2}+5n+3) < 0 <br /> \end{eqnarray*}$

->monoton steigend

Das bedeutet also, dass die Reihe divergiert, richtig?

29.03.2014, 23:47

Iorek

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Wie kommst du darauf, dass die Folge monoton steigend ist?

30.03.2014, 03:12

_Lilly_

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Weil doch

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> a_{n+1} = (n^{3}+3n^{2}+5n+3) <br /><br /> \end{eqnarray*}$

größer ist als

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> a_{n} = (n^{3}+2n) <br /><br /> \end{eqnarray*}$

Das bedeutet doch, dass die Folge monoton steigend ist oder?

30.03.2014, 10:56

Iorek

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Wieso ist denn bitte $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=n^3+3n^2+5n+3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_n=n^3+2n \end{eqnarray*}$ ? Du hast doch $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{\sqrt{n^3+2n}}{n^2+1} \end{eqnarray*}$ vorgegeben!

Du hast angesetzt mit $\begin{eqnarray*} a_n\geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ und bist nach mehreren Äquivalenzumformungen auf $\begin{eqnarray*} (n^3+2n)-(n^3+3n^2+5n+3)\leq 0 \end{eqnarray*}$ gekommen. Was wolltest du denn überhaupt zeigen, was soll der Ansatz mit $\begin{eqnarray*} a_n\geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ bedeuten? Und was lässt sich mit der letzten Ungleichung darüber schließlich aussagen?

30.03.2014, 14:20

_Lilly_

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Achso nein ich hatte folgenden Ansatz:

|an| - |an+1| >0
Falls das gilt ist meine Folge monoton fallend.

Da ich aber heraus bekommen habe |an| - |an+1| <0 , schließe ich daraus, dass |an+1| größer ist als |an|.

Somit muss meine Folge monoton steigend sein.

Das ist schon richtig oder?

30.03.2014, 14:24

Grautvornix

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RE: Alternierende unendliche Reihe, Monotonie bestimmen
Optional folgender Tipp:

Die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac 1{\sqrt{n}} \geq \frac{\sqrt{n^3+2n}}{n^2+1}\geq \frac 1{\sqrt{n+1}}. \end{eqnarray*}$

folgt fast sofort aus der fast offensichtlichen Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n(n^3+2n)}\leq \sqrt{(n^2+1)^2}\leq\sqrt{(n+1)(n^3+2n)} \end{eqnarray*}$

und liefert das gewünschte Monotonie- und Konvergenzverhalten.

30.03.2014, 14:30

HAL 9000

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Auch ohne "Blick" für geschickte Wurzelumformungen kommt man hier übrigens mit der schnöden Einbettung in eine reelle Funktion zum Ziel:

Es ist ja $\begin{eqnarray*} a_n = f(n) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\sqrt{x^3+2x}}{x^2+1},\quad x\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Zumindest für $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ kann man deren Monotonie leicht durch Betrachtung der Ableitung zeigen.

30.03.2014, 15:12

_Lilly_

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Ok,

ich habe es jetzt mit f(x) = an probiert. Ich habe nur den Zähler einmal abgeleitet (weil der Nenner bei x>=1 sowieso nie kleiner als null werden kann).

f(x)'= $\begin{eqnarray*} -x^{4}-3x^{2}+2 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich x=1 in f(x)' eingesetzt. Ergebnis: f(x=1)'=-2

Da das Ergebnis kleiner 0 ist würde ich darauf schließen, dass die Folge monoton fallend ist. Und meine Reihe somit konvergiert.

Aber das widerspricht sich mit meiner vorherigen Lösung bei der |an|-|an+1|<0 war.
Wenn |an+1| größer als |an| ist heißt das doch, dass die Folge monoton steigend ist. Wo ist denn der Fehler bei meinem Lösungsweg?

30.03.2014, 15:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von _Lilly_
Ich habe nur den Zähler einmal abgeleitet (weil der Nenner bei x>=1 sowieso nie kleiner als null werden kann).

Schon wieder derselbe Unsinn wie oben:

Wie willst du denn wissen, ob die Funktion monoton ist, wenn du den Nenner ignorierst??? Es reicht doch nicht aus nur zu wissen, dass er positiv ist. Finger1

Finger1

30.03.2014, 15:33

_Lilly_

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Ah ok stimmt. Da hatte ich wohl einen Denkfehler!

Danke!

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