Volumen und Schwerpunkt einer Hyperbel

29.03.2014, 22:20	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen und Schwerpunkt einer Hyperbel Hallo, ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe. Und zwar soll das Volumen und der Schwerpunkt der Hyperbel mit der Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} =1 \end{eqnarray}$ . Die Hyperbel rotiert um die x-Achse im Intervall $\begin{eqnarray} \left\{ a,2a\right\} \end{eqnarray}$ . Die Formel für das Volumen ist ja $\begin{eqnarray} V_{x} =\pi \int_a^b \! y^2 \, dx \end{eqnarray}$ . Mein Ansatz war jetzt einfach die Hyperbelgleichung nach $\begin{eqnarray} y^2 \end{eqnarray}$ umzustellen. Dann ergibt sich $\begin{eqnarray} y^{2} =\frac{x^2}{a^2}b^2 \end{eqnarray*}$ . Diese Gleichung setze ich in die Volumengleichung ein und integriere. Stimmt das? Danke für die Hilfe.
29.03.2014, 22:45	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ja , das stimmt. wenigstens prinzipiell. Auf die Grenzen achten!
29.03.2014, 22:49	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Mir kam das etwas einfach vor. Also als Grenzen nehm ich für a=a und b=2a. Als Volumen bekomme ich dann $\begin{eqnarray} \frac{7ab^3\pi }{3} \end{eqnarray*}$ raus.
29.03.2014, 23:02	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
überprüfe doch nochmal dein y^2=....
29.03.2014, 23:11	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm. Kann es sein, dass es $\begin{eqnarray} y^2=(b^2+x^2)a^2/b^2 \end{eqnarray*}$ heißt? Ansonsten wüsste ich nicht was falsch sein könnte.
29.03.2014, 23:18	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y^2=\frac {b^2}{a^2}x^2-b^2 \end{eqnarray}$ wäre mein Vorschlag.
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29.03.2014, 23:49	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Ich habe irgendwie die 1 unterschlagen. Nun komme ich auf $\begin{eqnarray} \frac{4ab^2pi}{3} \end{eqnarray}$
30.03.2014, 00:20	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist korrekt. Für den Schwerpunkt brauchst du die Fläche und das Volumendrehmoment. edit: Volumen und Volumendrehmoment.
30.03.2014, 10:36	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Hinweis. Also ich habe folgende Formel benutzt. $\begin{eqnarray} \frac{\pi }{V_{x} } \int_a^b \! xy^2 \, dx \end{eqnarray*}$
30.03.2014, 18:30	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig, das Volumendrehmoment ist: $\begin{eqnarray} V^{}_x=\pi \int_a^b \! xy^2 \, dx \end{eqnarray}$ und Volumen $\begin{eqnarray} V_x=\pi \int_a^b y(x)^2 \dd x \end{eqnarray}$ damit ergibt sich für den Schwerpunkt: $\begin{eqnarray} S_x= \frac {V^{}_x}{V_x}= \frac { \int_a^b \! xy^2 \, \dd x } { \int_a^b y(x)^2 \dd x }<br /> \end{eqnarray}$
30.03.2014, 18:34	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Das verstehe ich nicht ganz. Bis jetzt habe ich immer den Schwerpunkt im meiner obigen Formel ausgerechnet. Wieso muss ich jetzt die Andere benutzen?
30.03.2014, 18:59	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist dieselbe Formel ! nur kann man - wenn gewünscht - mit $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ kürzen
30.03.2014, 19:04	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke. Dann hab ich es verstanden. Vielen Dank für die Hilfe.
30.03.2014, 19:11	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist die Hauptsache. Gern geschehen !

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