Volumen Rotationskörper über Divergenz

30.03.2014, 14:56

Kilkenny

Volumen Rotationskörper über Divergenz

Meine Frage:
Hallo, wir hatten letztens in Mathe Rotationskörper und es ging um die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=9-x^2 | 0\leq x\leq 3 \end{eqnarray*}$ , die um die x-Achse rotiert. Das Volumen mittels der Formel für Rotationskörper rauszubekommen ist ja nicht schwer, deswegen habe ich mir Gedanken gemacht, wie man es ohne diese machen kann, aber alles führt vorn Baum, da hat mein Lehrer gesagt, ich soll mir mal den gauß'schen Integralsatz anschauen, allerdings hab ich da kein Ansatz. Wie würde das funktionieren?

Meine Ideen:
-

31.03.2014, 16:11

Nobundo

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RE: Volumen Rotationskörper über Divergenz
Wie sieht denn die Formel aus die dir schon bekannt ist und wie wurde die im Unterricht hergeleitet oder begründet?
Was genau möchtest du gerne bei der Berechnung anders machen?

31.03.2014, 22:54

Kilkenny

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Die Formel die wir im Unterricht für Rotationen von Funktionen um die x-Achse behandelt haben ist $\begin{eqnarray*} V = \pi \int_a^b [y]^2 dx \end{eqnarray*}$

Hergeleitet haben wir diese Formel im Unterricht nicht, aber wo sie herkommt, ist mir bekannt.

Was ich nun probieren wollte: Ich habe mir Gedanken gemacht wie ich den Rotationskörper der durch die Rotation von $\begin{eqnarray*} f(x) = 9-x^2 \end{eqnarray*}$ um die x-Achse anders berechnen kann als mit der Formel von oben. Ich habe es geometrische Versucht. (anfangs einen Fehler gemacht, aber mittlerweile gelöst) Da hat mein Lehrer gesagt ich soll mir mal den Gauß'schen Integralsatz ansehen und den Körper im $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ dartstellen dann geht das. Aber wie ist da der Ansatz?

01.04.2014, 00:47

Nobundo

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Also der Gaußsche Integralsatz sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_V\text{div} XdV=\int\limits_{\partial V}\langle X,n\rangle dF \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist hier ein Vektorfeld und $\begin{eqnarray*} \partial V \end{eqnarray*}$ soll den Rand des Rotationskörpers bezeichnen. Aur der rechten Seite taucht außerdem ein Skalarprodukt mit dem (positiv orientierten) Einheitsnormalenvektor $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ der Fläche auf.

Jetzt muss $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ so gewählt werden das $\begin{eqnarray*} \text{div}X=1 \end{eqnarray*}$ , dann wird daraus

$\begin{eqnarray*} \int\limits_VdV=\int\limits_{\partial V}\langle X,n\rangle dF \end{eqnarray*}$

und du kannst auch auf diese Weise mit etwas Rechnerei das Volumen des Rotationskörpers berechnen. Kannst du damit was anfangen?

01.04.2014, 01:01

Dopap

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Zitat:

Original von Nobundo

$\begin{eqnarray*} \int\limits_VdV=\int\limits_{\partial V}\langle X,n\rangle dF \end{eqnarray*}$

du könntest, wenn du nix zu tun hast - und es nicht zu viel ist - das mal vorrechnen, würde mich schon interessieren Augenzwinkern

01.04.2014, 03:03

Nobundo

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Zitat:

Original von Dopap

du könntest, wenn du nix zu tun hast - und es nicht zu viel ist - das mal vorrechnen, würde mich schon interessieren Augenzwinkern

Da ich das tatsächlich jetzt mal gerechnet hab zeigt wohl das ich wirklich zu wenig zu tun hab in den Semesterferien Big Laugh

Ich halte mich mal an das Beispiel für die Rotationsfläche von $\begin{eqnarray*} f(x)=9-x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<x<3 \end{eqnarray*}$ um die y-Achse:

Zuerst mal das Vektorfeld mit Divergenz 1 ist natürlich
$\begin{eqnarray*} X=\frac{1}{3}(x,y,z) \end{eqnarray*}$

Die Oberfläche des Rotationskörpers ist gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} \partial V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\vert\hspace{3pt}y^2+z^2-(9-x^2)^2=0\vert\hspace{3pt}0<x<3\}\cup\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\vert\hspace{3pt}x=0,y^2+z^2<9\} \end{eqnarray*}$

wobei im Integral die zweiten Menge dieser Vereinigung weggelassen werden kann, da $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ tangential an dieser liegt.
Jetzt noch eine Paramtrisierung von $\begin{eqnarray*} \partial V \end{eqnarray*}$ (bis auf Nullmengen)

$\begin{eqnarray*} \phi: (0,3)\times (0,2\pi)\rightarrow \partial V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (r,\varphi)\mapsto (r,(9-r^2)\cos(\varphi),(9-r^2)\sin(\varphi)) \end{eqnarray*}$

und daraus die Tangentialvektoren
$\begin{eqnarray*} \partial_r=(1,-2r\cos(\varphi),-2r\sin(\varphi)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \partial_{\varphi}=(0,(9-r^2)\sin(\varphi),-(9-r^2)\cos(\varphi)) \end{eqnarray*}$

daraus berechnet man die Gram'sche Determinante zu
$\begin{eqnarray*} \sqrt{g}=(9-r^2)\sqrt{1+4r^2} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} F(x,y,z):=y^2+z^2-(9-r^2)^2 \end{eqnarray*}$ dann ist der Normalenvektor gegeben durch

$\begin{eqnarray*} n=\frac{\text{grad}F}{\parallel\text{grad}F\parallel}=\frac{1}{\sqrt{1+4r^2}}(2r,\cos(\varphi),\sin(\varphi)) \end{eqnarray*}$

jetzt noch das Skalarprodukt ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} \langle X,n\rangle=\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt{1+4r^2}}(r^2+9) \end{eqnarray*}$

und noch das Randintegral ausführen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\partial V}\langle X,n\rangle dF=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^3dr\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt{1+4r^2}}(r^2+9)(9-r^2)\sqrt{1+4r^2}=\frac{2\pi}{3}\int\limits_0^3dr(81-r^4)=\frac{648}{5}\pi \end{eqnarray*}$

und das sollte dann (hoffentlich) auch das Ergebnis sein das man mit der Volumenformel für den Rotationskörper rausbekommt. Gute Nacht.

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