Differentialgleichung Substitution

30.03.2014, 16:43

n²

Differentialgleichung Substitution

Hallo,
verstehe nicht wie man das Verfahren Integration einer Differentialgleichung durch Substitution anwendet unglücklich

Beispielaufgabe:

$\begin{eqnarray*} 2xyy'-x^2=y^2 \end{eqnarray*}$

30.03.2014, 17:01

grosserloewe

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RE: Differentialgleichung Substitution
Wink

Du stellt die Gleichung nach y' um und substituierst dann

$\begin{eqnarray*} z= \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

30.03.2014, 17:02

n²

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Idee
$\begin{eqnarray*} u=\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2xyy'-x^2=y^2 \end{eqnarray*}$ /:x²

$\begin{eqnarray*} \frac{2yy'}{x}-1=\frac{y^2}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2yy'}{x}-1=u^2 \end{eqnarray*}$

verwirrt

30.03.2014, 17:06

grosserloewe

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Du mußt folgenden Weg gehen:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=z *x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'= z' *x +z \end{eqnarray*}$

und das Ganze in die nach y' umgestellte Gleichung einsetzen, das ist die ganze Idee.

Du erhälst dann

$\begin{eqnarray*} z'x +z = \frac{1}{2} (z+\frac{1}{z}) \end{eqnarray*}$ ,

was Du dann durch Trennung der Variablen lösen kannst.

Zum Schluß mußt Du dann noch resubstituieren.

30.03.2014, 17:19

n²

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habe es zu spät gesehen

$\begin{eqnarray*} 2xyy'-x^2=y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{x^2+y^2}{2xy} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{x^2}{2xy}+\frac{y^2}{2xy} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{x}{2y}+\frac{1}{2}*\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{x}{2y}+\frac{1}{2}*z \end{eqnarray*}$

Zitat:

Du stellt die Gleichung nach y' um und substituierst dann

Habe erstmal nur das gemacht da ich nicht verstehe wie du auf

$\begin{eqnarray*} y=z*x \end{eqnarray*}$ gekommen bist

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{x}{2y}+\frac{1}{2}*z \end{eqnarray*}$ (Integrieren ?)

30.03.2014, 17:21

grosserloewe

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Ich hab die Substitution nur nach y umgestellt und per Produktregel abgeleitet, das ist alles.

30.03.2014, 18:07

n²

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zwischenergebnis

$\begin{eqnarray*} z'=\frac{dz}{dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{2z}+\frac{z}{2}-z}dz =\frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{2z}+\frac{z}{2}-z}dz =\frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\frac{1}{2z}+\frac{z}{2}-z} \, dz =\int \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

30.03.2014, 21:05

grosserloewe

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sehr gut , das stimmt bis jetzt.

Fasse die linke Seite noch zusammen und Du hast 2 einfache Integrale zu lösen .

smile

30.03.2014, 23:38

n²

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$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\frac{1}{2z} +\frac{z}{2} -z} \, dz=\int \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\frac{1}{2z} +\frac{z}{2} -\frac{2z}{2} } \, dz=\int \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\frac{1}{2} *(\frac{1}{z} +z -2z) } \, dz=\int \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\int \! \frac{1}{(\frac{1}{z} +z -2z) } \, dz=\int \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\int \! \frac{1}{\frac{1}{z} -z } \, dz=\int \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\int \! z-z^{-1} \, dz=\int \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\int \! z-\frac{1}{z} \, dz=\int \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2-2ln|z|=ln|x|+C \end{eqnarray*}$

31.03.2014, 07:04

grosserloewe

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Bis zur 4. Zeile von unten stimmt es .

Der Intergrand ist falsch umgeformt. In dieser Weise ist es nicht möglich.
(von der 4. letzten zur 3.letzten Zeile)

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b +c} \neq \frac{a}{b} +\frac{a}{c} \end{eqnarray*}$

Das Integral

$\begin{eqnarray*} 2 \int \frac{1}{\frac{1}{z}-z } \, dz \end{eqnarray*}$

dann weiter berechnen über Substitution , die rechte Seite der Gleichung ist richtig.

smile

31.03.2014, 12:30

n²

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$\begin{eqnarray*} 2\int \! \frac{1}{\frac{1}{z}-z } \, dz=\int \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

Nullstelle z=1

$\begin{eqnarray*} 2\int \! \frac{1}{(z-1)} \, dz=\int \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln|z-1|=ln|x|+C \end{eqnarray*}$

31.03.2014, 12:52

grosserloewe

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das ist leider falsch.

Du mußt jetzt dieses Intergal lösen:

$\begin{eqnarray*} 2 \int \frac{z}{1 -z^2} \, dz \end{eqnarray*}$

Der Zähler und Nenner wird jeweils mit z multipliziert und Du erhälst dann
dieses Integral.

31.03.2014, 14:22

n²

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$\begin{eqnarray*} 2 \int \frac{z}{1 -z^2} \, dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=1-z^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{db}{dz}=-2z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dz=\frac{db}{-2z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \int -\frac{z}{2bz} \, db \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int -\frac{1}{b} \, db \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -ln|b|+C_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -ln|1-z^2|+C_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -ln|1-z^2|=lm|x|+C \end{eqnarray*}$

31.03.2014, 14:40

grosserloewe

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bis hierhin richtig Freude

jetzt mußt Du noch resubstituieren und nach y umstellen.

31.03.2014, 14:56

n²

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$\begin{eqnarray*} -ln|1-z^2|=ln|x|+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -ln|1-z^2|=ln|x|+ln|C| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -ln|1-z^2|=ln|x|+ln|C| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -ln|1-z^2|=ln|x*C| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln|1-z^2|=-ln|x*C| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |1-z^2|=-|x*C| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |1-z^2|=(-1)*|x*C| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |1-z^2|=|x*C|^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |1-z^2|=\frac{1}{|x*C|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x|=|a| \Rightarrow \pm x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-z^2=\pm\frac{1}{x*C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=\pm\frac{1}{C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-z^2=\frac{k}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1+z^2=-\frac{k}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2=1-\frac{k}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2=\frac{x}{x}-\frac{k}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2=\frac{x-k}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y^2}{x^2}=\frac{x-k}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\pm \sqrt{x^2-kx} \end{eqnarray*}$

31.03.2014, 16:19

grosserloewe

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ja das Ergebnis habe ich auch.

smile

31.03.2014, 17:27

n²

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Danke
Kann man es doch nicht mittels Bernoullische Dgl lösen ?

31.03.2014, 17:55

grosserloewe

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Ja klar kann man.

smile