Gekoppelte Differentialgleichung

Neue Frage »

30.03.2014, 16:50	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Gekoppelte Differentialgleichung Meine Frage: Folgende Aufgabe ist gestellt: Modellieren Sie die folgende Situation durch ein System aus zwei linearen Differentialgleichungen: Eine Population von Schafen hat die Geburtenrate "Lambda". Sie werden bedroht von Wölfen (mit Geburtenrate "Alpha"). Die Anzahl Wälfe führt mit einer Rate von "Gamma" zu einer Abnahme der Schafpopulation, umgekehrt wächst die Wolfspopulation mit einer Rate "Beta" der Schafspopulation. Schliesslich gibt es noch Jäger, die durch Abschuss der Wölfe (und zwar einer Abschussrate von "Delta") in das System eingreifen. Wie muss sich der Wert Delta zu den anderen Parametern verhalten, wenn es die Gesamtsituation (bis auf periodische Schwankungen) stabil bleiben soll? Meine Ideen: Also ich habe mal die beiden Differentialgleichungen so aufgestellt: $\begin{eqnarray} x_{1}'(t)=N1(\lambda -\gamma N2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2}'(t)=N2(\delta -\beta N1) \end{eqnarray}$ Wobei N1=Anzahl Schafe, N2=Anzahl Räuber, "Lambda"=Geburtenrate Schafe, "Delta"=Sterberate Räuber durch Abschuss Jäger, "Gamma"=Fressrate Wölfe(Sterberate Schafe), "Beta"=Reproduktionsrate der Raubtiere Wie finde ich jetzt heraus, wie hoch "Delta" sein muss? Und stimmen meine Diff.gleichungen überhaupt? Ich habe die Lotka-Volterra-Regeln durchgelesen, doch komme trotzdem nicht auf die Lösung. Als Biolog interessiert mich die Aufgabe besonders und es würde mich freuen, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte=)
31.03.2014, 12:40	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Anzahl der Schafe sei Ns. Die Änderung der Anzahl der Schafe ist die 1.Ableitung $\begin{eqnarray} \tfrac{dN_S}{dt} \end{eqnarray}$ nach der Zeit t. Diese Änderung hat 2 Ursachen: Ursache 1. Geburten von Schafe (=proportional zur Anzahl der Schafe) Ursache 2. Aufressen der Schafe durch die Wölfe (=proportional zur Anzahl der Wölfe) Die Anzahl der Wölfe sei Nw. Die Änderung der Anzahl der Wölfe ist die 1.Ableitung $\begin{eqnarray} \tfrac{dN_W}{dt} \end{eqnarray}$ nach der Zeit t. Diese Änderung hat 3 Ursachen: Ursache 1. Geburten von Wölfen (=proportional zur Anzahl der Wölfe) Ursache 2. Futterangebot (=proportional zur Anzahl der Schafe) Ursache 3. Jagderfolg (=proportional zur Anzahl der Wölfe) Formal ergibt das folgende 2 Bilanzgleichungen $\begin{eqnarray} \underbrace{\tfrac{dN_S}{dt}}_{\text{Änderung der Zahl der Schafe}}=\underbrace{\lambda \cdot N_S}_{\text{Geburten der Schafe}}-\underbrace{\gamma \cdot N_w}_{\text{Abnahme infolge Gefressenwerdens}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underbrace{\tfrac{dN_W}{dt}}_{\text{Änderung der Zahl der Wölfe}}=\underbrace{\alpha \cdot N_w}_{\text{Geburten der Wölfe}}+\underbrace{\beta \cdot N_S}_{\text{Zunahme infolge viel "Futter" (=Schafe)}}-\underbrace{\delta \cdot N_W}_{\text{Abnahme der Wölfe infolge der Jagd}} \end{eqnarray}$ Die Vorzeichen +/- auf der rechten Seite zeigen, ob die Ursache eine Zunahme oder Abnahme bewirkt. --------------------------------- Die obige Betrachtung ist übrigens nicht eindeutig ist. Alternativ könnte man annehmen, dass der Jagderfolg nicht proportional zur Zahl Nw der vorhandenen Wölfe ist, sondern dass eine feste Anzahl von geschossenen Wölfen vorgegeben wird. Welche Annahme gilt, geht aus deinem Text nicht hervor. Deine erste Differenzialgleichung ist übrigens ebenfalls "vernüftig". Du musst als Biologe genau definieren, welche Größe zu welcher Größe proportional sein soll. Das Aufstellen der Gleichungen ist danach relativ einfach. Dein Text ist aber ungenau. Die Mathematiker können dein Model zwar in Gleichungen "übersetzen". Das Modell selbst musst du aber vorher exakt definieren.
31.03.2014, 18:03	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für Deine sehr ausführliche und verständliche Antwort! Ich finde Deine Gleichungen viel verständlicher und übersichtlicher als meine. Ich hatte eben nur ein Beispiel in meinem Skript und habe mich an dieser gehalten. Leider stimmt es, dass die Aussagen im Text sehr ungenau sind. Doch das geht auf die Kappe der Professorin Ich frag mal Morgen beim Assistenten genauer nach.. Kurz zu deiner 2. Gleichung: Also heisst das jetzt, die Jagd auf die Wölfe führt schon mit einem negativen Vorzeichen zu einer Stabilität in der Gesamtsituation oder muss ich da noch weiterrechnen? Sorry für die blöde Frage, doch ich wird nicht ganz schlau aus der Sache.
01.04.2014, 11:44	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Frage ist, wie groß die Abschussrate $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ sein muss, damit sich eine periodische Schwankung der Wolf-Schaf-Population um ein gesundes Gleichgewicht einstellt. Ungesund wäre, wenn zu viele Wölfe alle Schafe auffressen oder wenn sich die Schafe unendlich vermehren, weil zu viele Wölfe geschossen würden. Diese Frage nach dem $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ kann man erst beantworten, wenn man das Modell genau definiert hat. Ich wiederhole nochmal, dass mein Modell-Vorschlag keineswegs richtig sein muss. Deine erste Gleichung und meine erste Gleichung sind nämlich beide möglich und vernünftig ----- Deine Gleichung:- $\begin{eqnarray} \tfrac{dN_S}{dt}=\lambda\cdot N_S-\underbrace{\gamma\cdot N_wN_S}_{\text{Fressrate}} \end{eqnarray}$ -----Meine Gleichung:- $\begin{eqnarray} \tfrac{dN_S}{dt}=\lambda\cdot N_S-\underbrace{\gamma \cdot N_w}_{\text{Fressrate}} \end{eqnarray}$ Deine Gleichung besagt, dass die Fressrate (2.Summand) proportional zur Anzahl der Schafe und zur Anzahl der Wölfe ist. In meiner Gleichung ist die Fressrate dagegen nur proportional zur Anzahl der Wölfe. Beides kann stimmen. Frag' nochmal nach. Vorher kann man nichts bestimmtes sagen.
01.04.2014, 21:58	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Also habe heute mal nachgefragt und Deine Variante ist die Richtige. Sie ist nur abhängig von der Anzahl der Wölfe. Aus den beiden Gleichungen sollte man eine Matrize bilden können, deren Lösung dann eine periodische Gleichung (sin oder cos) sein soll. Doch wie bekomme ich das hin? In der Vorlesung hatten wir leider keine solchen Beispiele. Wäre froh um Deine Hilfe
02.04.2014, 11:37	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Gleichungssystem lautet in Matrixform $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\tfrac{dN_S}{dt}\\\tfrac{N_W}{dt}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda&-\gamma\\\beta&\alpha-\delta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}N_S\\N_W\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gemäß der allgemeinen Theorie macht man den exponentiellen Ansatz $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}N_S\\N_W\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}C_S\\C_W\end{pmatrix}\cdot e^{x\cdot t} \end{eqnarray}$ Dabei sind Cs, Cw, x noch unbekannte Konstanten. Einsetzen in das Gleichungssystem und anschließende Division durch die e-Funktion liefert folgendes homogene lineare Gleichungssystem für den Vektor (Cs\|Cw). $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\lambda-x&-\gamma\\\beta&\alpha-\delta-x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C_S\\C_W\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So ein Gleichungssystem hat nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet, also wenn $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix}\lambda-x&-\gamma\\\beta&\alpha-\delta-x\end{vmatrix}=(\lambda-x)(\alpha-\delta-x)+\gamma\beta=0 \end{eqnarray}$ Dies ist eine quadratische Gleichung für den Parameter x, der im Exponenten der e-Funktion des obigen Ansatzes auftritt. Wir bringen diese quadratische Gleichung auf Normalform x²+px+q=0, also $\begin{eqnarray} x^2+\underbrace{(\delta-\lambda-\alpha)}_{p}\cdot x+\underbrace{\lambda\cdot (\alpha-\delta)+\gamma\beta}_q=0 \end{eqnarray}$ Mit der Lösungsformel bekommt man die Lösungen x1, x2 $\begin{eqnarray} x_{1,2}=-\tfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left ( \tfrac{p}{2}\right )^2-q} \end{eqnarray}$ Ab hier muss man gewisse Fallunterscheidungen machen: Fall 1: zwei verschiedene relle Lösungen Fall 2: zwei gleiche reelle Lösungen Fall 3: zwei kongugierte komplexe Lösungen mit Realteil Fall 4: zwei konjugierte komplexe Lösungen ohne Realteil Ich glaube, die Lösungen x1, x2 dürfen gemäß Fall 1 nicht reell werden (also nicht positiv oder negativ), weil dann die Exponetialfunktion exp(xt) im obigen Ansatz für große Zeiten ins Unendliche anwächst oder verschwindet. In diesem Falle würden sich die Wölfe/Schafe beliebig vermehren oder alle sterben. Denke mal darüber nach, was bei den anderen Fällen 2,3,4 passiert.
Anzeige

02.04.2014, 22:08	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke vielmals für Deine ausführliche Antwort Auf die p/q Formel wäre ich nicht gekommen.. Also Fall 1 hast du ja schon vorweg genommen. Zu Fall 2: Wenn beide reelle Lsg. gleich gross sind, dann bleiben die beiden Populationen immer gleich gross. Zu Fall 3 und 4 fällt mir die eulersche Formel ein: - Fall 3: Wenn es zwei kongugierte komplexe Lösungen mit Realteil gibt, dann siehts meiner Meinung nach so aus: $\begin{eqnarray} e^{x+it}=e^{x}(cos(t)+isin(t)) \end{eqnarray}$ Also eine periodische Fkt mit e-Teil. - Fall 4: Ohne Realteil $\begin{eqnarray} e^{it}=cos(t)+isin(t) \end{eqnarray*}$ Also eine einfache periodische Fkt. Doch jetzt fällt mir die Interpretation der Lsg. ein wenig schwer (falls sie überhaupt richtig sind). Heisst das jetzt, der Fall 2 müsste eintreffen, damit beide Populationen immer gleich gross sind, oder Fall 4, wo beide Populationen einer periodischen Schwankung unterliegen aber trotzdem gleich gross bleiben?
03.04.2014, 09:52	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevor wir das von mir aufgestellte Gleichungssystem lösen, frage zeige es mal deinem Dozenten und frage, ob es überhaupt das richtige Modell abbildet. (Ich sagte ja, dass das Modell nicht eindeutig ist.) Danach zeige ich dir die Lösung. Ich will nur vermeiden, dass wir umsonst rechnen, falls das Modell gar nicht der Wahrheit entspricht
03.04.2014, 10:47	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das Gleichungssystem stimmt, habe den Assistenten gestert gefragt. Habs einfach vergessen Dir noch mitzuteilen, sorry. War der Fehler der Dozentin, dass der Text nicht genau formuliert war.
04.04.2014, 13:26	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die beiden Lösung $\begin{eqnarray} x_{\pm} \end{eqnarray}$ der quadratischen Gleichung bekommt man mit der pq-Formel $\begin{eqnarray} x_{\pm}=\tfrac{\alpha-\delta+\lambda}{2}\pm\sqrt{\tfrac{1}{4}(\alpha-\delta-\lambda)^2-\gamma \beta} \end{eqnarray}$ Setzt man diese beiden Lösungen $\begin{eqnarray} x_{\pm} \end{eqnarray}$ in die obigen homogenen linearen Gleichungssysteme für den Vektor (Cs\|Cw) ein, so hat man zwei Gleichungssysteme, die sich durch die Vorzeichen +/- unterscheiden $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -\tfrac{\alpha-\delta-\lambda}{2}\mp\sqrt{\tfrac{1}{4}(\alpha-\delta-\lambda)^2-\gamma \beta} & -\gamma\\ \beta & \tfrac{\alpha-\delta-\lambda}{2}\mp\sqrt{\tfrac{1}{4}(\alpha-\delta-\lambda)^2-\gamma \beta} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} C_S^{\pm} \\ C_W^{\pm} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Lösungen dieser beiden Gleichungssysteme lauten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}C_S^{+}\\C_W^+\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac{\alpha-\delta-\lambda}{2}-\sqrt{\tfrac{1}{4}(\alpha-\delta-\lambda)^2-\gamma \beta}\\-\beta\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}C_S^{-}\\C_W^-\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma\\-\tfrac{\alpha-\delta-\lambda}{2}+\sqrt{\tfrac{1}{4}(\alpha-\delta-\lambda)^2-\gamma \beta}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wir setzen dies alles in den ursprünglichen exponentiellen Ansatz der Differenzialgleichung ein und bekommen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}N_S(t)\\N_W(t)\end{pmatrix}=C_1\cdot \begin{pmatrix}\tfrac{\alpha-\delta-\lambda}{2}-\sqrt{\tfrac{1}{4}(\alpha-\delta-\lambda)^2-\gamma \beta}\\-\beta\end{pmatrix}\cdot \exp\left [\left ( \tfrac{\alpha-\delta+\lambda}{2}+i\sqrt{\gamma\beta-\tfrac{1}{4}(\alpha-\delta-\lambda)^2}\right )\cdot t\right ]+\\C_2\cdot \begin{pmatrix}\gamma\\-\tfrac{\alpha-\delta-\lambda}{2}+\sqrt{\tfrac{1}{4}(\alpha-\delta-\lambda)^2-\gamma \beta}\end{pmatrix}\cdot \exp\left [\left ( \tfrac{\alpha-\delta+\lambda}{2}-i\sqrt{\gamma\beta-\tfrac{1}{4}(\alpha-\delta-\lambda)^2}\right )\cdot t\right ] \end{eqnarray}$ Die Konstanten C1 und C2 sind frei wählbar und würden erst durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Die imaginären Einheiten i vor den Wurzeln im Exponenet der e-Funktionen kommen hin, weil ich unter der Wurzel die Vorzeichen umgekehrt habe. Die Parameter sind so zu wählen, dass die Lösungen reell werden und nicht gegen Null oder gegen unendlich gehen, damit die Zahl der Tiere nicht verschwindet oder gegen unendlich geht. Suche dafür die Bedingungen heraus. Ich vermute, dieser Fall tritt ein, wenn der reelle Anteil $\begin{eqnarray} \tfrac{\alpha-\delta+\lambda}{2} \end{eqnarray}$ des Exponenten verschwindet, also wenn $\begin{eqnarray} \underbrace{\delta}_{\text{Abschussrate}}=\underbrace{\alpha}_{\text{Geburten der Wölfe}}+\underbrace{\lambda}_{\text{Geburten der Schafe}} \end{eqnarray}$ Ich muss hier aus Zeitgründen abbrechen. Rechne die Sache bis hier mal nach, um eventuelle Rechenfehler auszuschließen. Bin Montag wieder da. edit(kgV-4.4.13.36): Zeilenumbruch in die Formel eingefügt, um die Überbreite zu beheben
07.04.2014, 01:52	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab deine Rechnung mal durchgerechnet und danach am Samstag den Tipp von dem Assistenten bekommen, dass zwei komplexe EW die Lösung ist und zudem gelten muss: (SpurA)^2<4*detA Ich habs dann ausgerechnet und kam dann auf eine Lösung für Delta. Mal schauen, obs stimmt... Trotzdem kann ich mir aus dem Tipp des Assistenten keinen Reim machen, denn Deine Rechnung war zwar ein wenig umständlich, doch dafür machte sie für mich Sinn.

Neue Frage »

Antworten »

Gekoppelte Differentialgleichung

Verwandte Themen