Globales Maximum / Minimum

31.03.2014, 19:35

martinio

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Globales Maximum / Minimum

Hallo zusammen,

gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \left[-1,2\right] \longrightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=2x^3-3x^2+1 \end{eqnarray*}$ .

Lokales Maximum bei (0,1) , lokales Minimum bei (1,0).

Klick

Wie kann ich globale Maxima / Minima für den o.g. Definitionsbereich identifizieren?

Ich nehme mal an, dass damit die Ränder gemeint sind?
$\begin{eqnarray*} f(-1) < f(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(2) > f(1) \end{eqnarray*}$

31.03.2014, 19:47

kgV

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Ja, als globale Maxima/Minima kommen nur lokale Maxima/Minima und die Intervallränder in Betracht smile

smile

Was wäre das dann in deinem Fall?

Lg
kgV
Wink

Wink

PS. Ich schiebe dich mal in die Schulmathe, weil das noch nicht ganz Hochschulniveau hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.03.2014, 20:00

martinio

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Globales Minimum bei (-1,-4) und gloables Maximum bei (2,5).

Was wäre, wenn die Fuktion nicht auf dem Definitionsbereich beschränkt, sondern auf ganz R definiert wäre. Müsste ich mir dann das verhalten im unendlichen anschauen?

Ginge dann jeweils gegn +/- Unendlich, sind dann die lokalen Maxima/Minima auch global , oder exestieren dann einfach keine gloablen Maxima/Minima ?

VG

31.03.2014, 20:05

kgV

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Was beim Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ passiert, kannst du dir leicht anhand der Definition der globalen Minima/Maxima anschauen. Wie ist denn z.B. ein globales Minimum definiert? Kann ein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ das erfüllen?

31.03.2014, 20:18

martinio

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Bedingnug für ein globales Maximum, wenn $\begin{eqnarray*} f(x_0)\geq f(x) \forall x\in U \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Analog für ein globables Minimum .. und das erfüllen in diesem fall ja nur -1 und 2.

Falls die Funktion auf ganz R defineirt wäre, so gäbe es kein x, dass diese Bedingung erfüllt, da streng monoton wachsend/fallend - es gibt immer ein weiteres x für dass f(x) noch größer ist.

31.03.2014, 20:25

kgV

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Im Kern ist die Aussage richtig - streng monoton wachsend ist die Funktion zwar nicht auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , aber bis x=0 und ab x=1 stimmt das - und das genügt, weil du links einen kleineren als das lokale Minimum (z.B. den zitierten Punkt (-1,-4) und rechts einen größeren als das lokale Maximum (z.B. (2,5)) angeben kannst smile

smile

Damit gibt es also für $\begin{eqnarray*} D=\mathbb R \end{eqnarray*}$ keine globalen Extrema, sondern eben nur jene lokalen Extrema, die du schon genannt hast smile

smile

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31.03.2014, 20:32

martinio

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Merci !

smile

smile

Also man kann einfach prüfen, ob es einen kleiner bzw. größern Wert als den schon bei lokaler Betrachtung gefunden exestiert oder nicht. Wenn auf ganz R das lokale Minimum der absolute Tiefpunkt ist, so ist es auch das gloable Minimum. Analog für Maxima.

31.03.2014, 20:38

kgV

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Jawoll

Freude

Genauso kann man das machen smile

smile

31.03.2014, 20:47

martinio

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Noch eine letzte Frage.

Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} \exp(-x^4+2x^2+2) \end{eqnarray*}$ .

Lokales Mimium bei $\begin{eqnarray*} (0,\exp(2)) \end{eqnarray*}$
Lokale Maxima bei $\begin{eqnarray*} (1,\exp(3)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-1,\exp(3)) \end{eqnarray*}$

Dann müsste nach obiger Feststellung gelten:

$\begin{eqnarray*} \exp(2) < \exp(-x^4+2x^2+2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Die Ungleichung kriege ich aber nicht eindeutig gelöst. Gibt es nicht einen einfachren Weg? Z.b. indem man sich das Verhalten im Unendlichen anschaut? Nur da wäre ja das Problem, dass wir nicht wissen, was zwischen dem Minimum und Unendlich passier (salopp gesprochen).

31.03.2014, 20:59

kgV

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Die lokalen Extrema passen soweit Freude

Freude

Zu den globalen Extrempunkten: es gilt $\begin{eqnarray*} \exp(2)<\exp(-x^4+2x^2+2)\Leftrightarrow2<-x^4+2x^2+2 \end{eqnarray*}$
Diese Ungleichung lässt sich nun relativ leicht widerlegen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für allgemeine Aussagen gibt es leider keine Standardregel, aber bei einer e-Funktion lohnt es sich immer, das Verhalten im unendlichen zu analysieren, weil man damit evtl. sehr leicht globale Maxima ausschließen kann. Hier ist das aber nicht der Fall, wie dir die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \exp(3)>\exp(-x^4+2x^2+2),x\notin\{-1,1\} \end{eqnarray*}$ bestätigt

Hast du schon eine Idee bzgl. der globalen Maxima

31.03.2014, 21:06

martinio

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Zitat:

Original von kgV

Zu den globalen Extrempunkten: es gilt $\begin{eqnarray*} \exp(2)<\exp(-x^4+2x^2+2)\Leftrightarrow2<-x^4+2x^2+2 \end{eqnarray*}$
Diese Ungleichung lässt sich nun relativ leicht widerlegen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oh man bin ich blind, wie offensichtlich...

$\begin{eqnarray*} \exp(3) > \exp(-x^4+2x^2+2) \Leftrightarrow 3 >-x^4+2x^2+2 \Leftrightarrow 1+x^4 > x^2 , \forall x \notin \left\{ -1,1\right\} \end{eqnarray*}$

31.03.2014, 21:12

kgV

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Minima: soweit, so gut. Bleibt noch die Frage: wie sieht es damit aus, wenn es denn nicht das lokale Minimum ist? Kann es dann eines geben?

Diese Frage ist für dich auch als allgemeiner Vorgehenshinweis interessant: wir wissen, dass als globale Minima nur lokale Minima und Intervallränder in Frage kommen. $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ hat keine Ränder und das lokale Minimum ist augeschlossen... Was heißt das denn?

Zu den Maxima: da fehlt dir noch eine 2 vor den $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ . Dann ab auf die linke Seite damit und dann eine binomische Formel erkannt smile

smile

Das sollte dann die Bestätigung bringen Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.03.2014, 21:29

martinio

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Okay für die Maxima habe ich hinbekommen ! Freude

Freude

Zitat:

Bleibt noch die Frage: wie sieht es damit aus, wenn es denn nicht das lokale Minimum ist? Kann es dann eines geben?

Zitat:

Diese Frage ist für dich auch als allgemeiner Vorgehenshinweis interessant: wir wissen, dass als globale Minima nur lokale Minima und Intervallränder in Frage kommen.

Genau.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ hat keine Ränder und das lokale Minimum ist augeschlossen... Was heißt das denn?

Durch obige Ungleichung haben wir gezeigt, dass das lokale Minimum jedenfalls nicht der absolute Tiefpunkt ist und es exestieren keine Ränder, d.h. es exestiert kein globales Minimum?!

31.03.2014, 21:33

kgV

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Und die Minima dürften damit auch abgehakt sein Freude

Freude

Es gibt nämlich tatsächlich keine. Die Funktion nähert sich für in der Unendlichkeit an die x-Achse an, hat also keine Minima smile

smile

Sind dann noch Fragen offen?

31.03.2014, 21:40

martinio

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Nein, ich denke bin jetzt mir jetzt recht sicher smile

smile

Vielen Dank kgV, super erklärt ! Freude

Freude

31.03.2014, 21:43

kgV

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Gern geschehen smile

smile

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