Summe und Produkt Stetigkeit

Neue Frage »

Nighel123 Auf diesen Beitrag antworten »
Summe und Produkt Stetigkeit
Hi,

Ich schreibe mal für das Zeichen .

Kann ich auffassen als und sind Summe und Produkt als solche Funktionen aufgefasst stetig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
kurz und knapp
Ja.
Nighel123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kurz und knapp
Wie kann ich denn z.B. die Summe so herleiten, dass sie eine solche Funktion ist?
Weil bis jetzt habe ich immer nur Herleitungen gesehen (wie unten), so dass die Summe einer Funktion , eine Funktion ist.

Zum Beispiel kann man das Rekursionstheorem der Mengenlehre (siehe unten) benutzen. Dann kann man die Summe einer Funktion wie folgt diefinieren:

Es ist eine fundierte Struktur. Wobei .

Nun definiere ich die Operation (wobei mit die Resktriktion von f auf u gemeint ist, uns S die Nachfolgerfunktion darstellen soll. Für u betrachte man das angefügte Theorem unten. Dabei ist .)

Nun ist nach unten stehendem Theorem genau eine Funktion mit gegeben mit



Also .

Aber nun ist streng genomommen jede Summe nur für eine Funktion g definiert, also

Wie kann man nun die Summe so wie in Beitrag 1 definieren?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Oben war noch von Funktionen und deren Stetigkeit die Rede, jetzt redest du plötzlich in einer ganz anderen Sprache. Augenzwinkern

Mit deiner Terminologie als Menge kann ich leider nichts anfangen, genauso wenig mit "fundierten Strukturen" - tut mir leid. Bin ganz klar der falsche Mann für derartigen Formalismuskram, finde ich als eher angewandter Mathematiker einfach nicht interessant, obwohl es sicher wichtig ist. Aber es gibt (hoffentlich) andere hier im Board, die dir da besser helfen können.
Nighel123 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit meine ich die natürlichen Zahlen als Mengen, also einfach nur das Intervall

fundierte Struktur heißt einfach nur, dass bei eine Relation über ist und dass es in jeder nicht leeren Teilmenge von ein kleinstes Element gibt.

Aber meine Frage war ja eigentlich auch nur wo ich eine Herleitung für die Summe finde wo sie als Funktion definiert wird.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kurz und knapp
Weiterhelfen kann ich dir auch nicht, aber mir ist oben etwas aufgefallen:

Zitat:
Original von Nighel123
Es ist eine fundierte Struktur. Wobei .

Das, was da in der Menge steht, ergibt so keinen Sinn. Wenn u und v natürliche Zahlen sind, wie soll dann sein?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann nur vermuten, dass Nighel da mit einer nicht ganz unüblichen Mengendarstellung der natürlichen Zahlen operiert:



(Nachfolger von , also )

In dem Sinne ist dann auch und ist gleicbedeutend mit dem geläufigeren . Augenzwinkern
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

@hal: ja, ganz sicher.

@nighel: die elemente von sind doch genau die funktionen , also kannst du einfach definieren: , wie die rechte summe zu definieren ist hast du ja in deinem vorletzten post geschildert (ggf müssen noch indizes verschoben werden, je nach konvention).
lg
Nighel123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kurz und knapp
Man betrachtet die natürlichen Zahlen als Mengen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Natürliche_...Crlichen_Zahlen
Nighel123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kurz und knapp
@ Weißbrot

Ich seh nicht, dass man das einfach so definieren kann, weil eigentlich müsste man für eine neue Familie bzw. Funktion , ja erst wieder eine neue Summe nach dem Obigen Beweis konstruieren, und hätte dadurch eine Funktion , aber man kann ja nicht einfach ein in die Summe einsetzen, weil diese ja nur für die Familie definiert ist.

Ich hab noch in Grundzüge der Analysis von Edmund Landau eine Herleitung für die Summe gefunden (siehe Anhang). Aber auch hier ist mit die Summe nur für eine Funktion definiert.

Könnte man nicht Zunächst mit die Funktion definieren, und dann die Menge all dieser Funktionen vereinen, und hat dann eine Funktion .
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kurz und knapp
wo siehst du das problem bei dieser definition, also mal deine schreibweise benutzend: ?

Zitat:
weil diese ja nur für die Familie definiert ist.

g ist doch nicht fest. es ist für beliebiges g definiert.

ich stimme übrigends an dieser stelle des buches nicht mit landaus herangehensweise überein, ich vermute das ist auch hier das problem. ich hab aber jetzt nicht die motivation mich in deine/landaus auffassung, wie funktionen richtig zu definieren sind, reinzudenken, sorry.

lg

edit: hab mal nachgelesen (im landau) - also ist g doch eine "konstante"/fest definierte funktion(?) so gesehen ist das natürlich nicht richtig wie ichs gesagt hab, aber ich denke ich werd dir da auch erstmal nicht weiterhelfen können.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »