Parabelgleichung rekonstruieren

01.04.2014, 18:10	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Parabelgleichung rekonstruieren Guten Abend Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{9}{4}x² + 4 \end{eqnarray}$ Hier musste ich einen ganzen Schwung Aufgaben machen, Kurvendiskussion, Flächenberechnung, Extremwertaufgaben, Schnittwinkel von Tangenten und jetzt eben noch Gleichungen aufstellen. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel, die den Graphen von f bei den beiden inneren Nullstellen berührt. Die beiden inneren Nullstellen sind $\begin{eqnarray} x_1 = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 = -\sqrt{2} \end{eqnarray}$ Das Wörtchen berührt heißt ja, dass an diesen Punkten die Steigung 0 ist. Habe also 2 Gleichungen. $\begin{eqnarray} f ' (-\sqrt{2}) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b = 2\sqrt{2} a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f ' (\sqrt{2}) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = 4\sqrt{2} a \end{eqnarray}$ Somit wäre a und b ja 0, und das ist falsch. Wo mache ich den Fehler oder überseh ich hier noch eine Bedingung?
01.04.2014, 18:15	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso sollte die Steigung 0 sein? Was bedeutet es denn, wenn sich zwei Funktionen an einer bestimmten Stelle berühren? Z.B. hier: Die Gerade berührt die Parabel bei x=1. Die Steigung an dieser Stelle ist aber sicher nicht 0.
01.04.2014, 18:17	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm.. berühren heißt doch, dass sie dort die selbe Steigung hat wie der Graph f, oder?
01.04.2014, 18:21	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Zwei Funktionen berühren sich an einer Stelle, wenn sie dort denselben Funktionswert und denselben Anstieg (also erste Ableitung) haben.
01.04.2014, 18:36	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f (x) = -\frac{7}{4}x² + \frac{7}{2} \end{eqnarray}$ Stimmt das? Hmm nee, das kann nicht stimmen Also b = 0 und a = -7/4
01.04.2014, 18:43	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Edit: Und wieso soll das nicht stimmen?
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01.04.2014, 18:46	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das glaub ein bisschen falsch verstanden. Ich dachte, wenn sie die Nullstellen berührt, darf die Parabel die x-Achse nicht schneiden. Aber das macht sie ja jetzt.
01.04.2014, 19:23	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt wirklich nur, dass Funktionswert und erste Ableitung der beiden Funktionen an dieser Stelle übereinstimmen. Da steht ja nicht, dass die x-Achse berührt werden soll, sondern die Funktion f.
01.04.2014, 19:37	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay Hätte jedoch da gestanden "berührt die x-Achse", dann wäre die Steigung 0, richtig?
01.04.2014, 19:39	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Wenn die x-Achse berührt werden soll, muss die Nullstelle zugleich auch Extremstelle sein, also die erste Ableitung 0.
01.04.2014, 20:09	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, danke

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