Glücksrad

01.04.2014, 18:28

Luminator

Glücksrad

Hallo! Ich kann die Aufgabe nicht lösen und brauche dringend Hilfe, weil ich morgen eine Klausur schreibe!

Ein Glücksrad hat die Sektoren 1, 2 und 3 mit der Wahrscheinlichkeitsvertei-lung 0,2 bzw. 0,3 bzw. 0,5. Wie oft muss man das Rad drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% wenigstens einmal die Zahl 1 zu bekommen?

Mein Ansatz war:

1-0,3^n-0,5^n = 0,95

Das kann man aber nicht auflösen und das stimmt auch nicht, soweit ich weiß.

Kann mir jemand helfen?

Lg, Luminator

edit von sulo: Die Drängelei "DRINGEND!" im Titel ist absolut unpassend. Hier sind alle Anfragen gleich dringend!
Habe die Drängelei entfernt.

01.04.2014, 18:31

Luminator

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...was ich noch sagen wollte: Man kann das ja auch mit 1-0,8^n =0,95 lösen. Das finde ich auch völlig logisch. Ich finde nur nicht den Logikfehler bei mir!

01.04.2014, 18:33

Kasen75

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RE: DRINGEND! Glücksrad

Zitat:

Original von Luminator

Mein Ansatz war:

1-0,3^n-0,5^n = 0,95

Hallo,

was hast du dir bei deinem Ansatz gedacht ?

Grüße.

01.04.2014, 20:32

Luminator

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Ich dachte, dass man über die Gegenwahrscheinlichkeit geht. Wenn man sich das Baumdiagramm vorstellt, hat man in allen Pfaden mindestens eine 1 außer in dem Pfad mit 0,3^n und dem mit 0,5^n. Also ziehe ich diese Pfadwahrscheinlichkeiten ab.
Grüße

01.04.2014, 21:27

Kasen75

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Deine Überlegung ist nicht ganz richtig. Es gibt ja auch noch Pfade mit k Stufen mit der Wahrscheinlichkeit 0,3 und (n-k) Stufen mit der Wahrscheinlichkeit 0,5. Zum Beispiel dreimal 2 und einmal 3. Dabei keinmal 1.

Und hier sind auch für jedes k alle Permutationen zu berücksichtigen.

Beispiel:

n=4 k=3

$\begin{eqnarray*} 2,2,2,3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2,2,3,2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2,3,2,2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3,2,2,2 \end{eqnarray*}$

Dies kann man über den Binomialkoeffizient machen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Das ist dann die Anzahl der Pfade mit k-mal der Zahl 2 und (n-k)-mal der Zahl 3.

Für eine bestimmtes k ergibt sich dann: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} 0,3^k \cdot 0,5^{n-k} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss man aber alle Pfade von k=0 bis k=n berücksichtigen. Also von k=0 bis k=n aufsummieren.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} 0,3^k \cdot 0,5^{n-k} \end{eqnarray*}$

Wendet man hierauf den binomischen Lehrsatz an ergibt sich wiederum der von dir schon ermittelte Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} 0,3^k \cdot 0,5^{n-k}=0,8^n \end{eqnarray*}$

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