Partialbruchzerlegung

01.04.2014, 18:43

totti

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Partialbruchzerlegung

Hallo zusammen,

ich komme bei einer Aufgabe leider nicht weiter...
Mir fehlt da ein wenig der Ansatz zu, und würde die gerne einmal mit Hilfe von vorne bis hinten durchgehen...

Die Aufgabe lautet:
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{k^3+1} \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich doch erstmal die Nullstellen finden oder?
Dann habe ich folgende Linearfaktoren:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{k+1} +\frac{B}{k+j\sqrt{2} } +\frac{C}{k-j\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

Ist dies bis dato erstmal richtig???
Denn jetzt muss ich doch anfangen den Koeffizientenvergleich durchzuführen?!

Danke

01.04.2014, 19:09

Kasen75

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Hallo,

bei den komplexen Nullstellen würde ich einen anderen Ansatz wählen.

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{k^3+1}=\frac{A}{k+1}+\frac{Bk+C}{k^2-k+1} \end{eqnarray*}$

Grüße.

01.04.2014, 19:10

totti

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Wie komme ich darauf???

01.04.2014, 19:18

Kasen75

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Das ist der gewöhnliche Ansatz bei einer komplexen Nullstelle und der dazu gehörigen konjugiert komplexen Nullstelle.

Das kannst du auch bei wiki nach lesen.

01.04.2014, 19:30

totti

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Ahhh, alles klar danke...

Ist das Ergebnis korrekt???

$\begin{eqnarray*} A=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B=-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} C=2 \end{eqnarray*}$ ???

01.04.2014, 19:32

Kasen75

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Ja.

Freude

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01.04.2014, 19:38

totti

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nur jetzt mal eine doofe Frage, wie schreibe ich das dann in der Partialbruch Schreibweise???

01.04.2014, 19:45

Kasen75

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$\begin{eqnarray*} \frac{3}{k^3+1}=\frac{1}{k+1}+\frac{2-k}{k^2-k+1} \end{eqnarray*}$

Die Gleichheit muss dann für jedes k (ohne Nennernullstellen) erfüllt sein. Da kann man dann auch probeweise etwas einsetzen.

01.04.2014, 19:49

totti

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Alles klar, ich wusste nicht, dass ich ein k im Zähler stehen lassen darf...

Daaaaanke=)

01.04.2014, 19:54

Kasen75

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Zitat:

Original von totti
Alles klar, ich wusste nicht, dass ich ein k im Zähler stehen lassen darf...

Daaaaanke=)

Du musst es sogar.

Gerne. smile

smile

02.04.2014, 08:02

totti

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Also ich habe vorhin gesagt bekommen, dass es noch keine vollständige Partialbruchzerlegung sein soll!!!

Im Zähler darf wohl kein "k" stehen....

:-/

02.04.2014, 08:27

klarsoweit

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Wer verzapft diesen Unsinn. Wenn im Nenner ein quadratisches Polynom ohne reelle Nullstellen steht, kann (muß aber nicht) im Zähler ein Polynom der Form B*k + C vorkommen.

02.04.2014, 08:31

totti

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Ich hoffe ich bekomme die Lösung nachher mal...
Ich wüsste auch nicht wie...

Was heißt kann??? Wie kann es denn sonst sein?

02.04.2014, 08:38

klarsoweit

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Bei $\begin{eqnarray*} \frac{3}{k^3+1}=\frac{1}{k+1}+\frac{2-k}{k^2-k+1} \end{eqnarray*}$ hast du eine Zerlegung, wo eben bei dem Bruch mit dem quadratischen Polynom im Nenner im Zähler ein Polynom mit k vorkommt.

Bei $\begin{eqnarray*} \frac{k^2+k+1}{k^3+k} \end{eqnarray*}$ ist das zum Beispiel nicht der Fall. Es gibt eben beide Möglichkeiten. smile

smile

02.04.2014, 10:09

totti

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Ok aber dieses Ergebnis was ich bereits habe, kann ich doch nicht problemlos integrieren oder???
Das ist doch der Sinn hinter einer Partialbruchzerlegung?!

Ist denn der Ansatz falsch, den ich im ersten Beitrag geschrieben habe???

02.04.2014, 10:22

Grautvornix

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Zitat:

Original von totti
Ok aber dieses Ergebnis was ich bereits habe, kann ich doch nicht problemlos integrieren oder???

Doch sicher. Dazu eignet sich die von Kasen gelieferte PBZ ganz wunderbar.
Den verbleibenden Bruch kannst du in zwei Summanden zerlegen und dann durch Substitution mittels Log bzw. ArcTan integrieren.

02.04.2014, 10:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von totti
Ok aber dieses Ergebnis was ich bereits habe, kann ich doch nicht problemlos integrieren oder???

Nun ja, problemlos vielleicht nicht. Du mußt natürlich noch etwas umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2-k}{k^2-k+1} = -\frac 1 2 \cdot \frac{2k-1}{k^2-k+1} + \frac 3 2 \cdot \frac{1}{k^2-k+1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von totti
Ist denn der Ansatz falsch, den ich im ersten Beitrag geschrieben habe???

Ja und nein. Erstmal hast du die falschen komplexen Nullstellen genommen. Aber auch mit den richtigen Nullstellen faßt du sinnvoller Weise die Brüche mit den komplexen Nennern vor dem Integrieren zusammen.

@Grautvornix: auch hier bist du unnötigerweise wieder dazwischen gegangen. unglücklich

unglücklich

Immerhin habe ich mir die Zeit genommen und eine praktikable Zerlegung angegeben. Und außerdem auch alle Fragen beantwortet.

02.04.2014, 18:33

totti

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Sry, tut mir leid...Jetzt kann ich mich wieder mit der Aufgabe befassen...

Ich verstehe deinen Schritt leider nicht so ganz...

den ersten Term kann ich nachvollziehen, dass du -0,5 rausziehst und das dann 2k-1 stehen bleibt...
Aber was danach kommt, und vorallem das ganze als Addition, da bräuchte ich wohl nochmals einen Ansatz...

Danke

02.04.2014, 23:55

Kasen75

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Wenn man sich nur auf die Zähler und die Faktoren konzentriert , dann steht da: $\begin{eqnarray*} 2-k=-\frac{1}{2} \cdot (2k-1)+x \end{eqnarray*}$ , Dabei ist x gesucht.

Jetzt nach x auflösen.

03.04.2014, 08:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von totti
Ich verstehe deinen Schritt leider nicht so ganz...

den ersten Term kann ich nachvollziehen, dass du -0,5 rausziehst und das dann 2k-1 stehen bleibt...
Aber was danach kommt, und vorallem das ganze als Addition, da bräuchte ich wohl nochmals einen Ansatz...

Hast du denn die Gleichung mal rückwärts gerechnet? Sprich: wir sind uns einig, daß die Gleichung als solche stimmt?

03.04.2014, 09:17

totti

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Anscheint stehe ich grade echt aufm Schlauch, aber wieso

ist denn $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} *(2k-1) = 2-k \end{eqnarray*}$

Wenn ich das -0,5 rausziehe, und ich anschließend wieder ausmultiplizieren möchte, komme ich doch nicht auf 2 sondern auf +0,5??

oder verstehe ich was falsch?

03.04.2014, 09:22

klarsoweit

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Das habe ich ja auch nicht behauptet. Wenn man mal nur die Zähler der Brüche betrachtet, steht da:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} *(2k-1) + \frac 3 2 = 2-k \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.04.2014, 09:25

totti

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Alles klar nur die Zähler...aber wie kommst du dann auf das besagte?
Also die -0,5 *(2k-1)???

03.04.2014, 09:51

klarsoweit

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Nun ja, ich schaue mir mal den Nenner an: k² - k + 1 und leite den nach k ab, ergibt: 2k - 1. Meine Überlegung: wenn ich im Zähler genau dieses 2k-1 stehen habe, dann kann man den Nenner mit u substituieren und hat sozusagen das Integral des 1. Bruchs abgefrühstückt. Gesucht ist also eine Darstellung mit 2k-1 im Zähler des 1. Bruchs und einer Konstanten im Zähler des 2. Bruchs. smile

smile

03.04.2014, 10:11

totti

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Nimm es mir nicht übel, ich danke dir für deine Ausführliche Antwort...

Allerdings ist das bei mir noch nicht so recht angekommen...

Warum muss ich den 1. Bruch ableiten also den Nenner...
Ein kleine Anmerkung, eigentlich können wir noch nicht Integrieren bzw. Differenzieren.
Wir machen momentan nebenbei die Partialbruchzerlegung als vorab Handwerkzeug für das Integrieren...

Also um das ganze aus meiner Sich nochmals aufzurollen, man Zerlegt Brüche in partialbrüche, damit man später leichter integrieren kann oder?
Jetzt habe ich eine Fall wo ich halt komplexe Nullstellen habe. Das ist bisher die erste Aufgabe dieser Art...

Die Vorgehensweise ist eigentlich klar, ich habe eine reelle Nullstelle und 2 Komplexe. Deswegen auch die quadratische Form im Nenner in meinem 2. Bruch.
Gut diese Sache konnte ich noch lösen und auch nachvollziehen, aber ist diese Darstellung nicht sonderlich zum "leichten" integrieren geeignet?! Zumindest habe ich die Vorgabe bekommen, kein "k" mehr im Zähler stehen zu haben.

Gut jetzt zurück zur Aufgabe:
wenn ich dies ableite, stimme ich dir zu, komme ich auf das selbe Ergebnis: also 2k-1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Immerhin etwas Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt frage ich mich wieso du dann -0,5 davor schreibst? kann ich das ganze nicht auch mit einer anderen Zahl lösen, und dementsprechend eine andere Konstante hinzu addieren...
Sry aber so ganz ist mir das System dahinter noch nicht klar...

03.04.2014, 10:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von totti
Ein kleine Anmerkung, eigentlich können wir noch nicht Integrieren bzw. Differenzieren.
Wir machen momentan nebenbei die Partialbruchzerlegung als vorab Handwerkzeug für das Integrieren...

Das ist natürlich blöd, denn erst wenn man weiß, wie man Brüche integriert, weiß man, welche Form ein Bruch haben muß, damit es "problemlos" geht.

Zitat:

Original von totti
Also um das ganze aus meiner Sich nochmals aufzurollen, man Zerlegt Brüche in partialbrüche, damit man später leichter integrieren kann oder?

Ja.

Zitat:

Original von totti
Gut diese Sache konnte ich noch lösen und auch nachvollziehen, aber ist diese Darstellung nicht sonderlich zum "leichten" integrieren geeignet?!

Die Partialbruchzerlegung ist der 1. Schritt dazu, aber unter Umständen braucht es noch weitere Schritte.

Zitat:

Original von totti
Zumindest habe ich die Vorgabe bekommen, kein "k" mehr im Zähler stehen zu haben.

Entweder hast du da was falsch verstanden oder derjenige sollte sich mal mit der flachen Hand an die Stirn schlagen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von totti
Gut jetzt zurück zur Aufgabe:
wenn ich dies ableite, stimme ich dir zu, komme ich auf das selbe Ergebnis: also 2k-1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Immerhin etwas Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt frage ich mich wieso du dann -0,5 davor schreibst? kann ich das ganze nicht auch mit einer anderen Zahl lösen, und dementsprechend eine andere Konstante hinzu addieren...

Ich will ja den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{2-k}{k^2-k+1} \end{eqnarray*}$ so in 2 Brüche umformen, daß in einem Zähler das 2k-1 und in dem anderen Zähler eine Konstante steht. Also habe ich die Gleichung $\begin{eqnarray*} 2-k = c_1 \cdot (2k-1) + c_2 \end{eqnarray*}$ zu lösen. Das führt eben zu den genannten Werten.

03.04.2014, 10:50

totti

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Die Vorschrift um einen VOLLSTÄNDIGE partialbruchzerlegung durchzuführen ist doch alles in linearfaktoren zu zerlegen ...

Das habe ich damit dann doch aber auch nicht getan?!?!

Ich habe es nicht falsch verstanden, die Person beruht darauf!!!!

03.04.2014, 10:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von totti
Die Vorschrift um einen VOLLSTÄNDIGE partialbruchzerlegung durchzuführen ist doch alles in linearfaktoren zu zerlegen ...

Das geht nur, wenn man komplexe Nenner zuläßt. Aber wenn man sich im Bereich der reellen Zahlen bewegt, muß man einen komplexen Nenner mit dem zugehörigen konjugiert komplexen Nenner zu einem quadratischen Polynom zusammenfassen. Und wenn das die von dir zitierte Person anders sieht, kann ich ihr auch nicht helfen. geschockt

geschockt

03.04.2014, 10:57

totti

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Ja kann ich doch machen, also einen komplexen Nenner zulassen...

Das hat doch nie einer gesagt das dass verboten ist oder???

03.04.2014, 10:59

klarsoweit

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Das nicht, aber viel Spaß beim Integrieren. Big Laugh

Big Laugh

EDIT: hier http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruc...lexe_Polstellen siehst du ein Beispiel für die Zerlegung bei Auftreten komplexer Nullstellen. Und oh Wunder, man sieht ein quadratisches Polynom im Nenner und ein lineares im Zähler. smile

smile

03.04.2014, 11:07

totti

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Ok, aber wenn wir noch nicht beim integrieren sind, und wir erstmal das machen sollen...

Wie gehe ich dann vor???

ich teile erstmal alles in die Faktoten auf?!?!

Sind das meine Nullstellen???

$\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} +j\frac{\sqrt{3} }{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} -j\frac{\sqrt{3} }{2} \end{eqnarray*}$

EDIT: Auf dein Edit...

Die Seite hatte ich...Danach habe ich mich orientiert...Ich werde es mal versuchen so zu lösen, und morgen bekomme ich das Ergebnis, mal sehen wie es ausschaut...

03.04.2014, 11:36

klarsoweit

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Ja, das sind deine Nullstellen.

04.04.2014, 09:18

totti

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So....

Ich weiß grade überhaupt nicht mit welcher Methode ich da vorgehen soll...
Meine Aufgabe sieht jetzt so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{k^3+1} = \frac{A}{k+1} + \frac{B}{k+\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3} }{2} } + \frac{C}{k+\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3} }{2} } \end{eqnarray*}$

Welche Methode eignet sich am besten???
Kann mir da einer weiter helfen???

04.04.2014, 09:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von totti
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{k^3+1} = \frac{A}{k+1} + \frac{B}{k+\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3} }{2} } + \frac{C}{k+\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3} }{2} } \end{eqnarray*}$

Erstmal brauchst du den richtigen Ansatz: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{k^3+1} = \frac{A}{k+1} + \frac{B}{k - (\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3} }{2}) } + \frac{C}{k - (\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3} }{2}) } \end{eqnarray*}$

Dann kannst du die Gleichung mit k³+1 multiplizieren und machst entweder einen Koeffizientenvergleich oder du setzt für k 3 verschiedene Werte ein, woraus du dann 3 Gleichungen erhältst.

04.04.2014, 09:26

totti

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Wenn ich für k Werte einsetze, ist egal was das für Werte sind??

Und wenn ich dann mit k^3+1 multipliziere bleibt auf der linken Seite nur noch der Zähler stehen...Auf der rechten Seite natürlich dann nicht. Aber ich kann da doch nichts weg kürzen...
Und dann muss ich auch noch die Nenner gleichnamig machen oder???

Das ist ja eine Mega Rechnung?!?!

04.04.2014, 09:39

klarsoweit

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In der Tat. smile

smile

Deshalb würde ich ja auch den Ansatz

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{k^3+1} = \frac{A}{k+1} + \frac{B \cdot k + C}{k^2 - k + 1} \end{eqnarray*}$

bevorzugen. Aber das willst du ja nicht, weil es irgend jemand anderes nicht will.

Beachte bei der ganzen Rechnung, daß $\begin{eqnarray*} k^3+1 = (k+1) \cdot (k - (\frac 1 2 + j \frac{\sqrt 3}{2})) \cdot (k - (\frac 1 2 - j \frac{\sqrt 3}{2})) \end{eqnarray*}$ ist.

04.04.2014, 10:08

totti

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Nicht weil es irgendwer nicht will, sondern weil wir erstmal die Vollständige machen sollen...
Ich habe gestern mit dem prof gesprochen , er sagte ich kann es später natürlich in dieser Form machen. Und dann den Nenner ableiten...

Das ist kein Problem und mir überlassen...

Er sagte außerdem das man die Vollständige Partialbruchzerlegung nicht "nur" zum integrieren brauch, sondern nachher auch für die Transformationen...Zum Beispiel die Z Transformation...

Ich weiß jetzt nicht so ganz was du in deinem letzten Satz meinst...

04.04.2014, 10:28

klarsoweit

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Nun ja, du mußt ja mit k³+1 multiplizieren. Links fliegt der Nenner weg. Auf der rechten Seite kannst du mittels der Faktorzerlegung aus jedem Bruch den Nenner kürzen uns es bleiben jeweils 2 Faktoren übrig.

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