Bestimmen der Summenfunktion

01.04.2014, 18:43

King_Jigga

Bestimmen der Summenfunktion

Ich bräuchte mal wieder euer Hilfe:

Ich soll die Summenfunktion für $\begin{eqnarray*} | x | \leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n^{2}*x^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Idee wäre nur das Cauchy Produkt, aber da bin ich mir auch nicht ganz sicher wie das richtig gehen soll..

Weitere Vorschläge wären sehr hilfreich...

01.04.2014, 18:46

10001000Nick1

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Erstens: Was sollst du machen?
Zweitens: Bei der Summationsvariable stimmt was nicht. Du summierst von n=1 bis n.

Edit: OK, jetzt geht's von n=1 bis Unendlich.

01.04.2014, 18:50

King_Jigga

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RE: Bestimmen der Summenfunktion
Sorry habs total vergessen, also das ist die Aufgabenstellung:

Ich bräuchte mal wieder euer Hilfe:

Ich soll die Summenfunktion für $\begin{eqnarray*} | x | <1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n^{2}*x^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Idee wäre nur das Cauchy Produkt, aber da bin ich mir auch nicht ganz sicher wie das richtig gehen soll..

Weitere Vorschläge wären sehr hilfreich...

01.04.2014, 18:52

10001000Nick1

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RE: Bestimmen der Summenfunktion

Zitat:

Original von King_Jigga
Ich soll die Summenfunktion für $\begin{eqnarray*} | x | \leq 1 \end{eqnarray*}$

In dem Satz fehlt doch auch was. Also jetzt der dritte Versuch, die richtige Aufgabenstellung wiederzugeben...

01.04.2014, 18:58

King_Jigga

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RE: Bestimmen der Summenfunktion

Zitat:

Original von King_Jigga
Sorry habs total vergessen, also das ist die Aufgabenstellung:

Ich bräuchte mal wieder euer Hilfe:

Ich soll die Summenfunktion für $\begin{eqnarray*} | x | <1 \end{eqnarray*}$ von

Hatte mich beim kleiner gleich vertippt.
Nein das ist die komplette Aufgabenstellung

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n^{2}*x^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Idee wäre nur das Cauchy Produkt, aber da bin ich mir auch nicht ganz sicher wie das richtig gehen soll..

Weitere Vorschläge wären sehr hilfreich...

01.04.2014, 19:00

10001000Nick1

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RE: Bestimmen der Summenfunktion

Zitat:

Original von King_Jigga
Ich soll die Summenfunktion für $\begin{eqnarray*} | x | <1 \end{eqnarray*}$ von

Das ist ja schon mal ein Wort mehr. Ich kann trotzdem noch keinen vollständigen Satz erkennen.

01.04.2014, 19:00

Grautvornix

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RE: Bestimmen der Summenfunktion
Mit dem Cauchyprodukt geht das wunderbar.

Berechne dazu zunächst

$\begin{eqnarray*} \left(\frac 1{1-x}\right)=\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)^2=\ldots \end{eqnarray*}$

Damit gelangst Du zu einer Darstellung für

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty nx^n. \end{eqnarray*}$

Berechne dann

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty x^n \cdot \sum_{n=0}^\infty nx^n = \ldots \end{eqnarray*}$

01.04.2014, 19:23

Grautvornix

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RE: Bestimmen der Summenfunktion
Ich hatte da einen Exponenten unterschlagen.
So sollte es eigentlich lauten:

Zitat:

Original von Grautvornix
...

Berechne dazu zunächst

$\begin{eqnarray*} \left(\frac 1{1-x}\right)^2=\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)^2=\ldots \end{eqnarray*}$

...

01.04.2014, 19:50

King_Jigga

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RE: Bestimmen der Summenfunktion
ok das habe ich nun gemacht

Berechne dazu zunächst

$\begin{eqnarray*} \left(\frac 1{1-x}\right)=\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)^2=\ldots \end{eqnarray*}$

das müsste dann sein $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (n+1) x^{n} \end{eqnarray*}$

ich versteh gar nicht was mir das bringen soll..?
Ich weiss jetzt auch nicht wirklich weiter
verwirrt

01.04.2014, 20:01

Grautvornix

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RE: Bestimmen der Summenfunktion

Zitat:

Original von King_Jigga
ok das habe ich nun gemacht

Berechne dazu zunächst

$\begin{eqnarray*} \left(\frac 1{1-x}\right)=\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)^2=\ldots \end{eqnarray*}$

das müsste dann sein $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (n+1) x^{n} \end{eqnarray*}$

ich versteh gar nicht was mir das bringen soll..?
Ich weiss jetzt auch nicht wirklich weiter
verwirrt

Okay, um dich mal aufzugleisen bring ich den ersten Teil mal gaaanz ausführlich zu Ende.
Du hast also

$\begin{eqnarray*} \left(\frac 1{1-x}\right)^2=\sum_{n=0}^\infty (n+1) x^n=\sum_{n=0}^\infty n x^n+\sum_{n=0}^\infty x^n=\sum_{n=0}^\infty n x^n+\frac 1{1-x}. \end{eqnarray*}$

Daraus folgt nun:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty n x^n=\left(\frac 1{1-x}\right)^2-\frac 1{1-x}=\frac x{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt geht's weiter mit

$\begin{eqnarray*} \frac x{(1-x)^3}=\sum_{n=0}^\infty n x^n\cdot\sum_{n=0}^\infty x^n=\ldots \end{eqnarray*}$

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