Basis von Schnitt von Untervektorräumen

02.04.2014, 01:34

selphiron

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Basis von Schnitt von Untervektorräumen

Guten Tag! Ich habe schon eine Menge recherchiert und vieles gefunden, was irgendwie passt und meine auch die Lösung verstanden zu haben aber da nun die Klausur näher rückt wollte ich hier nochmal sichergehen Big Laugh

Big Laugh

Also die Aufgabe lautet so:
Gegeben sind 2 Untervektorraeume U und V, die wie folgt aussehen: $\begin{eqnarray*} <br /> U = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V = \left\{ x_{1} + x_{3} = 11 x_{2} | x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb R ^{3} \right\} \end{eqnarray*}$ gesucht ist die Basis von $\begin{eqnarray*} U \cap V \end{eqnarray*}$ .

Zunächst forme ich V in die Parameterdarstellung um und erhalte :
$\begin{eqnarray*} <br /> V = \left\{ \begin{pmatrix} 11 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

nun erstelle ich eine Matrix A, wobei die ersten beiden Spalten die Vektoren von U sind und die restlichen Spalten die Vektoren aus V aber negativ. Also sieht mein A so aus:
$\begin{eqnarray*} <br /> A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -11 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$
Nun berechne ich den Kern von A aus. Dazu muss ich erstmal A in NZSF bringen(oder?) A in NZSF gebracht sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} <br /> A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{7}{13} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{10}{13} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{13} \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

und lese den Kern ab: Ker(A) = $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} - \frac{7}{13} x_4 \\ \frac{10}{13} x_4 \\ \frac{3}{13} x_4 \\ x_4 \end{pmatrix} | x_4 \in \mathbb R \right\} = span \left\{ \begin{pmatrix} - \frac{7}{13} \\ \frac{10}{13} \\ \frac{3}{13} \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

so ab jetzt bin ich mir sehr unsicher. Da der letzte Eintrag 0 ist würde ich jetzt sagen, dass der Schnitt von U und V der 3. Vektor ist also $\begin{eqnarray*} <br /> \left\{ \begin{pmatrix} 11 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

und die Basis davon wäre ja dann wiederum $\begin{eqnarray*} <br /> \left\{ \begin{pmatrix} 11 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit vom Vorgehen her richtig? Mache ich mir irgendwo zuviel Arbeit? Also von Determinanten hab ich nicht so die Ahnung, das Thema haben wir nur angeschnitten (also ich kann höchstens die Determinante von 3x3-Matrizen berechnen)

Vielen dank schonmal für eure Antworten,

lg Selphiron

02.04.2014, 08:54

klarsoweit

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RE: Basis von Schnitt von Untervektorräumen

Zitat:

Original von selphiron
und lese den Kern ab: Ker(A) = $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} - \frac{7}{13} x_4 \\ \frac{10}{13} x_4 \\ \frac{3}{13} x_4 \\ x_4 \end{pmatrix} | x_4 \in \mathbb R \right\} = span \left\{ \begin{pmatrix} - \frac{7}{13} \\ \frac{10}{13} \\ \frac{3}{13} \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Hier steckt ein Fehler. Richtig ist:

Ker(A) = $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} - \frac{7}{13} x_4 \\ \frac{10}{13} x_4 \\ \frac{3}{13} x_4 \\ x_4 \end{pmatrix} | x_4 \in \mathbb R \right\} = span \left\{ \begin{pmatrix} - \frac{7}{13} \\ \frac{10}{13} \\ \frac{3}{13} \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ smile

smile

02.04.2014, 10:28

selphiron

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RE: Basis von Schnitt von Untervektorräumen
Ahja vielen dank, ich korrigiere:

und lese den Kern ab: Ker(A) = $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} - \frac{7}{13} x_4 \\ \frac{10}{13} x_4 \\ \frac{3}{13} x_4 \\ x_4 \end{pmatrix} | x_4 \in \mathbb R \right\} = span \left\{ \begin{pmatrix} - \frac{7}{13} \\ \frac{10}{13} \\ \frac{3}{13} \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

das heißt die Basis von U geschnitten V ist
$\begin{eqnarray*} span \left\{ \frac{3}{13}\cdot \begin{pmatrix} 11 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , 1 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} = span \left\{ \begin{pmatrix}\frac{33}{13} \\ \frac{3}{13} \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

und die Basis davon wäre ja dann wiederum $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix}\frac{33}{13} \\ \frac{3}{13} \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

So wieder der selbe Abschluss ^^ :
Ist das soweit vom Vorgehen her richtig? Mache ich mir irgendwo zuviel Arbeit? Also von Determinanten hab ich nicht so die Ahnung, das Thema haben wir nur angeschnitten (also ich kann höchstens die Determinante von 3x3-Matrizen berechnen)

Vielen dank schonmal für eure Antworten,

lg Selphiron

02.04.2014, 10:43

klarsoweit

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RE: Basis von Schnitt von Untervektorräumen

Zitat:

Original von selphiron
das heißt die Basis von U geschnitten V ist
$\begin{eqnarray*} span \left\{ \frac{3}{13}\cdot \begin{pmatrix} 11 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , 1 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} = span \left\{ \begin{pmatrix}\frac{33}{13} \\ \frac{3}{13} \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Nein, das heißt es nicht. Du mußt dir nochmal genauer anschauen, was für ein Gleichungssystem du gelöst hast.

Mit deiner Lösung folgt jetzt, daß

$\begin{eqnarray*} \frac{-7}{13} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{10}{13} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{3}{13} \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

Also ist der Vektor $\begin{eqnarray*} \frac{-7}{13} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{10}{13} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in der Schnittmenge von U und V und bildet davon eine Basis.

02.04.2014, 20:11

selphiron

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RE: Basis von Schnitt von Untervektorräumen
aha also könnte ich sagen, dass $\begin{eqnarray*} <br /> span\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{-7}{13} \\ \frac{-7}{13} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{20}{13} \\ \frac{10}{13} \\ \frac{20}{13} \end{pmatrix} \right\}<br /> \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} span \left\{ \begin{pmatrix} \frac{33}{13} \\ \frac{3}{13} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$
beides (also jeweils einzeln) der Schnitt von U und V ist? Und demnach wäre eine Basis dann $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{-7}{13} \\ \frac{-7}{13} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{20}{13} \\ \frac{10}{13} \\ \frac{20}{13} \end{pmatrix} \right\}<br /> \end{eqnarray*}$ und eine andere Basis wäre $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} \frac{33}{13} \\ \frac{3}{13} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

So jetzt müsste es richtig sein oder ? ^^

03.04.2014, 09:13

klarsoweit

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RE: Basis von Schnitt von Untervektorräumen
Nun ja, wie man leicht sieht, ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{-7}{13} \\ \frac{-7}{13} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{20}{13} \\ \frac{10}{13} \\ \frac{20}{13} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{33}{13} \\ \frac{3}{13} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Mithin ist also auch: $\begin{eqnarray*} span\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{-7}{13} \\ \frac{-7}{13} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{20}{13} \\ \frac{10}{13} \\ \frac{20}{13} \end{pmatrix} \right\} = span \left\{ \begin{pmatrix} \frac{33}{13} \\ \frac{3}{13} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Entscheidend ist aber vielmehr, daß du verstanden hast, wie man zu dem Ergebnis kommt, daß dieses die Schnittmenge ist. smile

smile

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03.04.2014, 11:55

selphiron

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Also die letzten beiden Gleichungen verstehe ich. Was mir noch unklar ist ist was genau jetzt der Schnitt und dann die Basis davon ist. War mein letzter Beitrag falsch?

03.04.2014, 12:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von selphiron
War mein letzter Beitrag falsch?

Falsch will ich nicht sagen, aber wenn du sagst "und eine andere Basis ..." und letztlich denselben Basisvektor mit einer etwas anderen Darstellung angibst, dann ist das irgendwie doppelt gemoppelt.

Zitat:

Original von selphiron
Was mir noch unklar ist ist was genau jetzt der Schnitt und dann die Basis davon ist.

Der Schnitt ist der angegebene Span und eine Basis ist in dem Span aufgeführt.

03.04.2014, 17:12

RavenOnJ

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RE: Basis von Schnitt von Untervektorräumen

Zitat:

Original von klarsoweit
Nun ja, wie man leicht sieht, ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{-7}{13} \\ \frac{-7}{13} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{20}{13} \\ \frac{10}{13} \\ \frac{20}{13} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{33}{13} \\ \frac{3}{13} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Mithin ist also auch: $\begin{eqnarray*} span\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{-7}{13} \\ \frac{-7}{13} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{20}{13} \\ \frac{10}{13} \\ \frac{20}{13} \end{pmatrix} \right\} = span \left\{ \begin{pmatrix} \frac{33}{13} \\ \frac{3}{13} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Wobei man das natürlich noch zu

$\begin{eqnarray*} \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix} 20 \\ 3 \\ 13 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

vereinfachen kann/sollte.

03.04.2014, 21:25

selphiron

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jo vielen dank! Der Grund weshalb ich beide aufgeschrieben habe ist, dass ich zeigen/sicherstellen wollte, dass ich mir aussuchen darf welches ich nehme.

Vielen dank an euch 2 smile

smile

05.04.2014, 19:41

selphiron

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Hi,

eine Frage habe ich noch (ich hoffe das liest noch jemand ^^)
Also ich habe irgendwo gelesen, dass es einfacher wäre die Parameterdarstellung von V in Gleichung für U einzusetzen. Allerdings sagt mir das nichts. Jemand ne Idee?

06.04.2014, 00:02

RavenOnJ

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Zitat:

Original von selphiron

Also ich habe irgendwo gelesen, dass es einfacher wäre die Parameterdarstellung von V in Gleichung für U einzusetzen.

Ich nehme an, du meinst die Parameterdarstellung von U in die Gleichung von V einsetzen. Allerdings ist das einfacher.

Parameterdarstellung von U:
$\begin{eqnarray*} U = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}\Rightarrow U\ni u = a \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \quad(*) \end{eqnarray*}$

also
$\begin{eqnarray*} x_1 = 2b,x_2=a+b,x_3=a+2b \end{eqnarray*}$

Das in die Gleichung für V ergibt
$\begin{eqnarray*} x_1+x_3-11x_2 = 2b+(a+2b)-11(a+b)=-10a-7b =0\Rightarrow a = -\frac7 {10}b \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in (*):
$\begin{eqnarray*} u = a \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = b\left( -\frac 7 {10} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right)= \frac b{10}\begin{pmatrix} 20 \\ 3 \\ 13 \end{pmatrix}\Rightarrow U\cap V = \operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix} 20 \\ 3 \\ 13 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

06.04.2014, 00:45

selphiron

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uff da bin ich wiedermal einen großen Umweg gegangen ^^ Danke sehr, das ist eindeutig die bessere Variante Big Laugh

Big Laugh

06.04.2014, 02:16

RavenOnJ

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Gerade durch Umwege lernt man was Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

06.04.2014, 18:12

selphiron

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Hi,
ich habe mir nochmal das ab "Eingesetzt in (*):" nochmal genauer angeguckt und komme auf ein anderes Ergebnis. Also du hast ja erstmal das b ausgeklammert (soweit so gut) und dann steht da $\begin{eqnarray*} b\left( -\frac 7 {10} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ . So nun hast du ein paar Schritte übersprungen. Was du glaube ich gemacht hast ist erstmal den Faktor 1/10 rauszuziehen. Dann kommt man auf $\begin{eqnarray*} \frac b{10}\left( - 7 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt den linken Vektor mit -7 multipliziert und wir erhalten: $\begin{eqnarray*} \frac b{10}\left( \begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ -7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

Nun die beiden Vektoren addieren: $\begin{eqnarray*} \frac b{10} \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -5 \end{pmatrix} \Rightarrow U\cap V = \operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -5 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

So aber das muss ja falsch sein, weil wir ja in der anderen Variante was anderes raus hatten.. Wo ist der Fehler?

07.04.2014, 00:23

RavenOnJ

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Zitat:

Original von selphiron
Hi,
ich habe mir nochmal das ab "Eingesetzt in (*):" nochmal genauer angeguckt und komme auf ein anderes Ergebnis. Also du hast ja erstmal das b ausgeklammert (soweit so gut) und dann steht da $\begin{eqnarray*} b\left( -\frac 7 {10} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ . So nun hast du ein paar Schritte übersprungen. Was du glaube ich gemacht hast ist erstmal den Faktor 1/10 rauszuziehen. Dann kommt man auf $\begin{eqnarray*} \frac b{10}\left( - 7 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt den linken Vektor mit -7 multipliziert und wir erhalten: $\begin{eqnarray*} \frac b{10}\left( \begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ -7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

Du hast vergessen, den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit 10 zu multiplizieren, wenn du 1/10 als gemeinsamen Faktor vor die Klammer ziehst. Bei richtiger Rechnung kommst du auf mein Ergebnis.

07.04.2014, 01:00

selphiron

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ja rechnen sollte man können -.- Ich denke das wars jetzt endlich^^ Nochmal vielen dank! Freude

Freude

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